Potenční množina: Porovnání verzí
Smazaný obsah Přidaný obsah
m robot přidal: ca:Conjunt de les parts, fr:Ensemble des parties d'un ensemble |
mat. vzorce a odkaz a rozšíření vlastností a podívejte se také na |
||
| Řádek 1: | Řádek 1: | ||
'''Potenční množina''' množiny |
'''Potenční množina''' množiny <math>X \,\! </math> (značí se <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> nebo též <math>2^X \,\! </math>) je taková [[množina]], která obsahuje všechny [[podmnožina|podmnožiny]] množiny <math>X \,\! </math>. |
||
Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny|axiomu potenční množiny]]. |
|||
== Příklad == |
== Příklad == |
||
* <math> A = \{ 1,2,3 \} \,\! </math> |
|||
Pokud ''A'' = { 1, 2, 3 }, pak ''P(A)'' = { [[Prázdná množina|∅]], {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }. |
|||
* <math> \mathbb{P}(A) = \{ \emptyset, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 3 \}, \{ 1,2 \}, \{ 1,3 \}, \{ 2,3 \}, \{ 1,2,3 \} \} \,\! </math> |
|||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
||
Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek [[prázdná množina|prázdnou množinu]], tj.<br> |
|||
* Pokud |''X''| = ''n'', pak |''P(X)''| = 2<sup>''n''</sup>. Obecně i pro [[nekonečná množina|nekonečné množiny]] platí, že [[mohutnost]] potenční množiny je vždy striktně vyšší než mohutnost původní množiny (viz [[Cantorova diagonální metoda]]). |
|||
<math> (\forall X)( \emptyset \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math> |
|||
* ∅ ∈ ''P(X)'' pro libovolnou množinu ''X'' (neboť ∅ ⊆ ''X'' pro libovolnou množinu ''X''). |
|||
Potenční množina množiny <math> X \,\! </math> obsahuje <math> X \,\! </math> jako svůj prvek, tj.<br> |
|||
<math> (\forall X)(X \isin \mathbb{P}(X)) \,\! </math> |
|||
Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno [[uspořádání]] pomocí relace "být [[podmnožina|podmnožinou]]" <math> \subseteq \,\! </math>. Toto uspořádání rozhodně není [[lineární uspořádání|lineární]] - například množiny <math> \{ 1,3 \} \,\! </math> a <math> \{ 2,3 \} \,\! </math> z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou [[potenční algebra]], která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o [[úplný svaz]]. |
|||
== Mohutnost potenční množiny == |
|||
* Pokud je <math> X \,\! </math> konečná množina a její [[mohutnost]] je <math> |X| = n \,\! </math>, pak mohutnost její potenční množiny je <math> |\mathbb{P}(X)| = 2^n \,\! </math>. |
|||
* Pro nekonečné množiny platí podle [[Cantorova věta|Cantorovy věty]], že mohutnost <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> X \,\! </math>. Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost <math> \mathbb{P}(\mathbb{P}(X)) \,\! </math> je ostře větší, než mohutnost <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math> atd. |
|||
== Podívejte se také na == |
|||
{{matematický pahýl}} |
|||
{{Portál matematika}} |
|||
* [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Axiom potenční množiny|Axiom potenční množiny]] |
|||
* [[Potenční algebra]] |
|||
* [[Filtr (matematika)|Filtr]] |
|||
* [[Svaz (matematika)|Svaz]] |
|||
[[Kategorie:Teorie množin]] |
[[Kategorie:Teorie množin]] |
||
Verze z 8. 11. 2006, 15:08
Potenční množina množiny (značí se nebo též ) je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny .
Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.
Příklad
Vlastnosti
Každá potenční množina obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu, tj.
Potenční množina množiny obsahuje jako svůj prvek, tj.
Na potenční množině je přirozeným způsobem definováno uspořádání pomocí relace "být podmnožinou" . Toto uspořádání rozhodně není lineární - například množiny a z předchozího příkladu jsou neporovnatelné. Potenční množina spolu s tímto uspořádáním tvoří strukturu nazývanou potenční algebra, která má řadu zajímavých vlastností - jedná se například o úplný svaz.
Mohutnost potenční množiny
- Pokud je konečná množina a její mohutnost je , pak mohutnost její potenční množiny je .
- Pro nekonečné množiny platí podle Cantorovy věty, že mohutnost je ostře větší, než mohutnost . Z toho mimo jiné vyplývá, že škála mohutností nekonečných množin je nekonečná, protože mohutnost je ostře větší, než mohutnost atd.
