Hölderova nerovnost

Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání L^p prostrů.

Znění

Na prostoru s mírou $(X,\Sigma ,\mu )$ mějme μ-měřitelné funkce $f,g$ na $X$. Dále nechť existují čísla $1\leq p,q\leq \infty$, taková, že: $1/p+1/q=1$. Pak platí:

$\|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}$.

Důležité speciální případy

Pro následující případy předpokládejme, že $1<p,q<\infty$ a $1/p+1/q=1$.

Aritmetická míra

V případě $n$-rozměrného Eukleidovského prostoru $a_{k},b_{k}\in \mathbb {C} ^{n}$, s množinou $X=\{1,...,n\}$ a $\mu$ aritmetickou mírou dostáváme:

$\sum _{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{1/q}$.

Rovnost nastává, právě když $|b_{k}|=c|a_{k}|^{p-1}$.

L^p prostory

Pokud $f\in L^{p}(X),g\in L^{q}(X)$, tak $f\cdot g\in L^{1}(X)$ a navíc:

$\int _{X}|f\cdot g|\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\int _{X}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\cdot \left(\int _{X}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/q}$

Pro $p=q=2$ pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.

Důkaz

Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a $x\in <0,1>$ platí $xr+(1-x)s\geq r^{x}s^{1-x}$. Rovnost nastává, právě když r=s nebo $x\in \{0,1\}$. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.