Konvexní množina

Konvexní množina M

Nekonvexní množina N

Mnohostěn: a) konvexní, b) nekonvexní

V matematice se pod pojmem konvexní množina obvykle rozumí podmnožina Euklideova prostoru anebo vektorového prostoru, která splňuje následující vlastnost:

• úsečka spojující libovolné dva body této množiny je obsažena v dané množině.

Jde tedy o množinu M takovou, že pro všechna $a,b\in \mathbf {M}$ je splněna podmínka

${\overline {ab}}:=\{\lambda a+(1-\lambda )b\mid 0\leq \lambda \leq 1\}\subseteq M$ (za předpokladu že sčítání a násobení ve vzorci má smysl).

Příklady

• úsečka přímka i polorovina jsou konvexní
• každý trojúhelník je konvexní
• mnohoúhelník v rovině je konvexní, jestliže
  • žádný jeho vnitřní úhel není větší než 180°
  • vznikne jako průnik konečně mnoha polorovin.
• Kruh a koule jsou konvexní
• Krychle a kvádr jsou konvexní
• Kružnice ani kulová plocha nejsou konvexní

Vlastnosti

• Průnik libovolného souboru konvexních množin je konvexní. To umožňuje pro libovolnou množinu definovat jení konvexní obal jako průnik všech jejích konvexních nadmnožin.
• Sjednocení konvexních množin může, ale nemusí být konvexní: Např. sjednocení dvou různých jednobodových množin není konvexní.

Související články

• Obloukově souvislá množina
• Geometrický útvar
• Úsečka
• Křivka