Spojitá funkce

Spojitá (červeně) a nespojitá funkce (modře)

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, primitivní funkce apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v hromadném bodě definičního oboru x₀ definovat následujícími dvěma podmínkami:

• Funkce je v bodě x₀ definována (x₀ patří do definičního oboru).
• V bodě x₀ existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:

  $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$.

Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.

Cauchyho definice

O funkci $f(x)$ řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu $\varepsilon >0$ existuje takové číslo $\delta >0$, že pro všechna x, pro něž platí $|x-a|<\delta$, platí také

$|f(x)-f(a)|<\varepsilon$.

Velikost čísla $\delta$ může záviset nejen na volbě čísla $\varepsilon$, ale i na volbě bodu a.

Funkci $f(x)$ označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému $\varepsilon >0$ existuje takové $\delta >0$, že pro všechna $x\in \langle a,a+\delta )$ (resp. $x\in (a-\delta ,a\rangle$), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu $a$, je $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$. Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci $f(x_{i})$, kde $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě $A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$, pokud ke každému (libovolně malému) číslu $\varepsilon >0$ existuje takové číslo $\delta >0$, že pro všechny body $X=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]$ z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku $d(A,X)<\delta$, platí

$|f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})-f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})|<\varepsilon$.

Heineho definice

Nechť $x_{0}$ je hromadným bodem $D(f)$. Funkce $f$ je spojitá v bodě $x_{0}$ právě tehdy když $\forall \lbrace x_{n}\rbrace ,x_{n}\in D(f),x_{n}\rightarrow x_{0}$ platí $f(x_{n})\rightarrow f(x_{0})$.

Spojitost komplexní funkce

O komplexní funkci $f(z)$ říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě $z_{0}$ komplexní roviny platí

$\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=f(z_{0})$.

Je-li funkce $f(z)$ spojitá v každém bodě určité oblasti $\mathbf {G}$, pak říkáme, že je spojitá v $\mathbf {G}$.

Bod nespojitosti

Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti.

Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod $a$, ve kterém má funkce $f(x)$ limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. $\lim _{x\to a+}f(x)\neq \lim _{x\to a-}f(x)$. Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. $\lim _{x\to a+}f(x)-\lim _{x\to a-}f(x)$, nazýváme skokem funkce v bodě $a$.

Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod $a$, v němž neexistuje alespoň jedna z (konečných) jednostranných limit.

Pokud v bodě $a$ existuje konečná limita $\lim _{x\to a}f(x)=A$, avšak funkce $f(x)$ není v bodě a definována, nebo je $f(a)\neq A$, pak bod $a$ označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce $f(x)$.

Funkci, která je definována na intervalu $\langle a,b\rangle$, označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Druhy bodů nespojitosti

Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod $b$. Bod $e$ je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod $c$ je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu $\langle a,d\rangle$.

Stejnoměrná spojitost

Mějme funkci $f(x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$, pro niž k libovolnému $\varepsilon >0$ existuje $\delta >0$ takové, že pro libovolné dva body $x_{1},x_{2}$ z intervalu $\langle a,b\rangle$ splňující $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ platí $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$, pak říkáme, že funkce $f(x)$ je stejnoměrně spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$.

Weierstrassova věta

Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu $\langle a,b\rangle$ lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v $\langle a,b\rangle$ posloupností polynomů, tzn. k libovolnému $\varepsilon >0$ existuje polynom $P(x)$ takový, že $|f(x)-P(x)|<\varepsilon$ pro všechna $x\in \langle a,b\rangle$.

Absolutně spojitá funkce

Funkci $f(x)$ označíme jako absolutně spojitou na intervalu $\langle a,b\rangle$, jestliže k libovolnému $\varepsilon >0$ existuje takové $\delta >0$, že pro každý systém intervalů $\langle a_{1},b_{1}\rangle ,\langle a_{2},b_{2}\rangle ,\ldots ,\langle a_{n},b_{n}\rangle ,$ pro který je $a\leq a_{1}\leq b_{1}\leq a_{2}\leq b_{2}\leq \cdots \leq a_{n}\leq b_{n}\leq b$, a $\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})<\delta$ platí $\sum _{i=1}^{n}|f(b_{i})-f(a_{i})|<\varepsilon$.

Je-li funkce $f(x)$ absolutně spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$, pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.

Příklady

Funkce dolní celá část, nespojitá v každém celém čísle

• Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
• Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla).
• Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0:

  I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1.

• Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle.
• Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.

Vlastnosti

• Má-li funkce $f(x)$ v bodě $a$ konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
• Pokud je funkce $f(x)$ spojitá v bodě $a$ a funkce $g(y)$ spojitá v bodě $b=f(a)$, pak složená funkce $g(f(x))$ je spojitá v bodě $a$.
• Je-li funkce $f(x)$ spojitá na $\langle a,b\rangle$, pak na $\langle a,b\rangle$ existuje alespoň jeden bod $x_{1}\in \langle a,b\rangle$ takový, že $f(x_{1})\geq f(x)$ pro všechna $x\in \langle a,b\rangle .$ Jedná se o maximum funkce $f(x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle .$ Současně také existuje alespoň jeden bod $x_{2}\in \langle a,b\rangle$ takový, že $f(x_{2})\leq f(x)$ pro všechna $x\in \langle a,b\rangle$. Jedná se o minimum funkce $f(x)$ na intervalu $\langle a,b\rangle$. Funkce spojitá na intervalu $\langle a,b\rangle$ je tedy na tomto intervalu také ohraničená.

Související články

• Funkce
• Komplexní funkce
• Okolí
• Polospojitost
• Stejnoměrně spojitá funkce
• Absolutně spojitá funkce
• Lipschitzovská funkce