Topologický prostor

Topologický prostor je matematická struktura, která umožňuje formalizovat a zobecnit takové pojmy, jako jsou konvergence, kompaktnost a spojitost. Vyskytují se prakticky ve všech odvětvích moderní matematiky. Topologickými prostory se zabývá topologie.

Neformální úvod

Pojmy uzavřená množina, kompaktní množina, spojité zobrazení, konvergence posloupnosti a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny reálných čísel. Lze je však podobně definovat na každé množině, jejímž dvojicím prvků lze přiřadit jakousi „vzdálenost“ od ostatních prvků (například na množně spojitých funkcí lze jako „vzdálenost“ prvků chápat buď integrál z jejich rozdílu, nebo maximum z jejich rozdílu apod.).

Jelikož se takto zavedené pojmy ukázaly v matematice jako užitečné, byly formalizovány pomocí pojmu metrický prostor, což je každá množina vybavená funkcí, která splňuje několik axiomů, které zajišťují jistou míru podobnosti této funkce s klasickou vzdáleností. Metrický prostor je velmi obecná matematická struktura, takže je-li nějaké tvrzení dokázáno pro každý metrický prostor, není již třeba jej ověřovat zvlášť pro čísla, pro body prostoru, pro funkce atd. (Totéž platí pro topologický prostor.)

Pojem „topologický prostor“ vznikl proto, aby bylo možné mnoho metrických pojmů (viz příklady výše) rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru. Příkladem takových množin jsou ordinální čísla.

V metrických prostorech má každý z těchto pojmů svoji definici pomocí metriky, stejně jako pojem otevřená množina. Topologie pracuje naopak tak, že se stanoví, které množiny pokládáme za otevřené, a všechny ostatní pojmy definujeme pomocí otevřených množin (nikoli pomocí metriky).

Topologickým prostorem je tedy každá množina (tzv. nosná množina) spolu se systémem jejích podmnožin (tzv. otevřené množiny), pokud splňují axiomy, které topologický prostor definují.

Každý metrický prostor je automaticky topologickým prostorem, protože systém všech podmnožin „otevřených v metrickém smyslu“ vždy tyto axiomy splňuje. Potom pojmy definované topologicky splývají s pojmy zavedenými pomocí metriky - například zobrazení mezi dvěma metrickými prostory je spojité v metrickém smyslu právě tehdy, pokud je spojité v topologickém smyslu.

Topologie je velmi abstraktní disciplína; v porozumění definicím a větám pomáhá si je nejprve představit na reálných číslech, poté v rovině či euklidovském prostoru $\mathbb {R} ^{n}\,\!$, poté na metrickém prostoru a nakonec v obecném topologickém prostoru.

Definice

Topologickým prostorem nazveme množinu $X$ společně s kolekcí $\tau$ podmnožin $X$, splňující následující axiomy:

1. $\emptyset \in \tau$, $X\in \tau$
2. sjednocení libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z $\tau$ leží v $\tau$
3. průnik konečného počtu množin z $\tau$ leží v $\tau$

Kolekci $\tau$ říkáme topologie na $X$. Množiny v $\tau$ pak nazveme otevřené množiny, jejich doplňkům v $X$ uzavřené množiny.

Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako $(X,\tau )$.

Homeomorfní topologické prostory

Spojitá deformace (homotopie) hrníčku na pneumatiku (toroid) ilustruje, že tyto dva předměty jsou topologicky shodné.

Říkáme, že dva topologické prostory jsou homeomorfní, pokud mezi nimi existuje homeomorfismus, tzn. zobrazení které je prosté a na, je spojité a jeho inverze je spojitá. Z pohledu topologie jsou takové prostory identické (mají stejné topologické vlastnosti).

Topologie zkoumá tvar objektů bez přihlédnutí ke vzdálenostem. Například písmena K a I jsou topogicky shodná (homeomorfní), pokud je chápeme jako dvojrozměrné útvary (tužka kreslí čáru o nenulové tloušťce), protože písmeno I vyrobené z velmi pružné gumy lze vytvarovat v K (a také v C,E,F,G,J,L atd.). Písmeno O je topologicky shodné s A,D,P, zatímco písmeno B je topologicky shodné s číslicí 8.

Pokud písmena chápeme jako křivku ve dvourozměrném prostoru (jako tužka kreslící úsečky o nulové tloušťce), pak písmena E a T (bez patiček) jsou topologicky shodná navzájem, ale liší se od K, neboť K má bod, ze kterého „vyhýbají“ čtyři křivky (je jedno, zda jsou to úsečky nebo křivé čáry), zatímco E takový bod nemá.

Každé dvě křivky, které neprotínají samy sebe jsou homeomorfní (například písmena I a L - nezáleží na tom, že L má ostrý zlom).

Jemnější a hrubší topologie

O dvou topologiích J, H na téže množině řekneme, že J je jemnější než H (neboli H je hrubší, než J), pokud H$\subseteq$J, tedy každá množina otevřená v topologii H je otevřená i podle J.

Nejhrubší topologie na libovolné množině $X$ je tzv. triviální topologie, která je tvořena pouze množinou $X$ a prázdnou množinou $\emptyset$, tzn. $\tau =\{\emptyset ,X\}$.

Naopak nejjemnější topologie na jakékoli množině je diskrétní topologie, která obsahuje všechny podmnožiny X. Každá podmnožina X je tak zároveň otevřená i uzavřená.

Příklady topologických prostorů

• Množina reálných čísel s topologií generovanou otevřenými intervaly. Znamená to, že množina je otevřená, pokud vznikla sjednocením klidně i nekonečně mnoha otevřených intervalů
• Metrický prostor je topologický prostor s topologií otevřených množin generovaných otevřenými koulemi. To zahrnuje i Banachovy prostory či Hilbertovy prostory.

Související články

• Zobrazení
• Spojité zobrazení
• Kompaktní množina