Fermatovo číslo: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 7. 5. 2010, 17:19

Fermatovým číslem se v matematice rozumí takové přirozené číslo, které je rovno

F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1

pro nějaké přirozené číslo $n$ . Svoje jméno tato čísla získala podle matematika Pierra de Fermata, který je zkoumal jako jeden z prvních.

Prvních devět Fermatových čísel je:

F₀	=	2¹	+	1	=	3
F₁	=	2²	+	1	=	5
F₂	=	2⁴	+	1	=	17
F₃	=	2⁸	+	1	=	257
F₄	=	2¹⁶	+	1	=	65,537
F₅	=	2³²	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417
F₆	=	2⁶⁴	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617
					=	274,177 × 67,280,421,310,721
F₇	=	2¹²⁸	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
					=	59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F₈	=	2²⁵⁶	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
					=	1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321

F₉=2⁵¹²+1=

1,340780792994259709957402499820*10¹⁵⁴

F₁₀=2¹⁰²⁴+1=

1,79769313486231590772930519078*10³⁰⁸

F₁₁=2²⁰⁴⁸+1=

3,2317006071311073007148766886*10⁶¹⁶

F₁₂=2⁴⁰⁹⁶+1=

1,044388881413152506691752710716*10¹²³³

F₁₃=2⁸¹⁹²+1=

1,090748135619415929462984244733*10²⁴⁶⁶

F₁₄=2¹⁶³⁸⁴+1=

1,18973149535723176508575932662*10⁴⁹³²

F₁₅=2³²⁷⁶⁸+1=

1,41546103104495478900155302774*10⁹⁸⁶⁴

F₂₀=2^1048576+1=

6,741140125499073402269065104704*10³¹⁵⁶⁵²

F₃₅=2^34359738368+1=

8,6013834471051456051919251434245*10^34359896595

V roce 2008 byl znám prvočíselný rozklad pouze prvních dvanácti Fermatových čísel F₀ až F₁₁.^[1]

Fermatova prvočísla

Fermat věřil, že všechna Fermatova čísla jsou prvočísla (takovým číslům se pak zkráceně říká Fermatovo prvočíslo). To bylo vyvráceno v roce 1732 Leonhardem Eulerem. Euler dokázal, že dělitel čísla F_n musí mít podobu k2ⁿ⁺² + 1. Pro $n=5$ tedy stačí zkoušet dělit čísly 128k + 1 a Euler objevil, že

F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417.\;

V rozporu s Fermatovým očekáváním se dodnes (2008) nepodařilo objevit žádná další Fermatova prvočísla kromě F₀, F₁, F₂, F₃ a F₄, která znal už Fermat. Vzhledem k tomu, jak rychle Fermatova čísla rostou, se o Fermatových číslech pro velká n mnoho neví a pojí se k nim následující otevřené problémy:

jsou všechna Fermatova čísla F_n pro $n>4$ složená?
existuje nekonečně mnoho Fermatových složených čísel?
existuje nekonečně mnoho Fermatových prvočísel?

Externí odkazy

(anglicky) Pod číslem A000215 jsou Fermatova čísla evidována v On-line databázi celočíselných posloupností

Reference

↑ (anglicky) Wilfrid Keller, "Prime Factors of Fermat Numbers". Staženo 2008-09-07.

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fermat number na anglické Wikipedii.

[Keller-1] (anglicky) Wilfrid Keller, "Prime Factors of Fermat Numbers". Staženo 2008-09-07.

[1]

@@ Řádek 35: / Řádek 35: @@
 |-
 |}
+*F<sub>9</sub>=2<sup>512</sup>+1=
+,340780792994259709957402499820*10<sup>154</sup>
+*F<sub>10</sub>=2<sup>1024</sup>+1=
+,79769313486231590772930519078*10<sup>308</sup>
+*F<sub>11</sub>=2<sup>2048</sup>+1=
+,2317006071311073007148766886*10<sup>616</sup>
+*F<sub>12</sub>=2<sup>4096</sup>+1=
+,044388881413152506691752710716*10<sup>1233</sup>
+*F<sub>13</sub>=2<sup>8192</sup>+1=
+,090748135619415929462984244733*10<sup>2466</sup>
+*F<sub>14</sub>=2<sup>16384</sup>+1=
+,18973149535723176508575932662*10<sup>4932</sup>
+*F<sub>15</sub>=2<sup>32768</sup>+1=
+,41546103104495478900155302774*10<sup>9864</sup>
+*F<sub>20</sub>=2<sup>1048576</sup>+1=
+,741140125499073402269065104704*10<sup>315652</sup>
+*F<sub>35</sub>=2<sup>34359738368</sup>+1=
+,6013834471051456051919251434245*10<sup>34359896595</sup>
 V roce [[2008]] byl znám [[prvočíselný rozklad]] pouze prvních dvanácti Fermatových čísel ''F''<sub>0</sub> až ''F''<sub>11</sub>.<ref name="Keller">{{en}} Wilfrid Keller, [http://www.prothsearch.net/fermat.html "Prime Factors of Fermat Numbers"]. Staženo [[2008-09-07]].</ref>