Řádek 105:
Řádek 105:
[[lv:Gradients]]
[[lv:Gradients]]
[[nl:Gradiënt (wiskunde)]]
[[nl:Gradiënt (wiskunde)]]
[[nn:Gradient]]
[[pl:Gradient (matematyka)]]
[[pl:Gradient (matematyka)]]
[[pt:Gradiente]]
[[pt:Gradiente]]
Ukázka gradientu (modré vektory) pro dvě různá skalární pole (černá představuje vyšší hodnotu skalární funkce).
Gradient na 3D povrchu - červená značí největší růst, modra pomalejší, na vrcholu je růst i gradient nulový.
Gradient je v obecném smyslu slova směr růstu. Ve formálním jazyce matematiky označuje diferenciální operátor , jehož výsledkem je vektorové pole vyjadřující směr a velikost největší změny skalárního pole . Při formálním zápisu se používá operátor nabla
∇
{\displaystyle \nabla }
.
V souřadnicovém vyjádření je v daném místě gradientem vektor , jehož složky tvoří jednotlivé parciální derivace funkce vyjadřující dané skalární pole . Pro trojrozměrné pole je gradient:
∇
ϕ
=
g
r
a
d
ϕ
=
(
∂
ϕ
∂
x
,
∂
ϕ
∂
y
,
∂
ϕ
∂
z
)
{\displaystyle \nabla \phi =\mathrm {grad} \phi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}}
Přestože je gradient definován v kartézských souřadnicích , jde o invariantní veličinu, která nezávisí na volbě souřadné soustavy .
Zobecnění pro n -rozměrný prostor lze s pomocí Einsteinova sumačního pravidla vyjádřit ve tvaru
∇
f
=
e
i
∂
f
∂
x
i
{\displaystyle \nabla f=\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}
,
kde
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}
jsou souřadnice a
e
i
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}
jsou bázové vektory .
Operátor gradientu lze aplikovat nejen na skalární funkce, ale také na vektory a tenzory . Aplikace operátoru gradientu na tenzor zvyšuje jeho řád o jedničku.
Vlastnosti gradientu
Jsou-li F ,G vektorová pole , f ,g funkce , a ,b reálná čísla , má gradient následující vlastnosti:
Je lineární vůči reálným číslům
∇
(
a
f
+
b
g
)
=
a
∇
f
+
b
∇
g
,
{\displaystyle \nabla \left(af+bg\right)=a\nabla f+b\nabla g\,,}
splňuje Leibnizovo pravidlo pro funkce
∇
(
f
g
)
=
(
∇
f
)
g
+
f
∇
g
,
{\displaystyle \nabla \left(fg\right)=\left(\nabla f\right)g+f\nabla g\,,}
gradient skalárního součinu vektorů splňuje
∇
(
F
⋅
G
)
=
(
F
⋅
∇
)
G
+
(
G
⋅
∇
)
F
+
F
×
(
∇
×
G
)
+
G
×
(
∇
×
F
)
,
{\displaystyle \nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)=\left(\mathbf {F} \cdot \nabla \right)\mathbf {G} +\left(\mathbf {G} \cdot \nabla \right)\mathbf {F} +\mathbf {F} \times \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)+\mathbf {G} \times \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\,,}
kde ∇ × F je rotace vektorového pole F .
Vyjádření v různých soustavách souřadnic
Následující vztahy udávají vyjádření gradientu v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích a stříškované tučné znaky souřadnic jsou jednotkové vektory báze v daných souřadnicích, pak platí
Ve válcových souřadnicích :
∇
f
=
∂
f
∂
r
r
^
+
1
r
∂
f
∂
φ
φ
^
+
∂
f
∂
z
z
^
.
{\displaystyle \nabla {f}={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}.}
Ve sférických souřadnicích :
∇
f
=
∂
f
∂
r
r
^
+
1
r
∂
f
∂
θ
θ
^
+
1
r
sin
θ
∂
f
∂
φ
φ
^
{\displaystyle \nabla {f}={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x 1 ,x 2 ,x 3 , jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h 1 ,h 2 ,h 3
∇
f
=
1
h
1
∂
f
∂
x
1
x
^
1
+
1
h
2
∂
f
∂
x
2
x
^
2
+
1
h
3
∂
f
∂
x
3
x
^
3
.
{\displaystyle \nabla {f}={\frac {1}{h_{1}}}{\partial f \over \partial x_{1}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\partial f \over \partial x_{2}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\partial f \over \partial x_{3}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{3}.}
Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů ) pro složky vektoru gradientu platí
∇
f
=
f
;
k
d
x
k
,
∇
f
=
f
;
i
g
i
k
∂
∂
x
k
=
f
;
k
∂
∂
x
k
{\displaystyle \nabla {f}=f_{;k}{\boldsymbol {\mathrm {d} }}x^{k},\nabla {f}=f_{;i}g^{ik}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}=f^{;k}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}}
Zde je potřeba podotknout, že zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou.
Související články