Neutrální prvek: Porovnání verzí
m robot přidal: da:Neutralt element |
m robot přidal: eo:Neŭtra elemento |
||
Řádek 28: | Řádek 28: | ||
[[de:Neutrales Element]] |
[[de:Neutrales Element]] |
||
[[en:Identity element]] |
[[en:Identity element]] |
||
[[eo:Neŭtra elemento]] |
|||
[[es:Elemento neutro]] |
[[es:Elemento neutro]] |
||
[[et:Ühikelement]] |
[[et:Ühikelement]] |
Verze z 16. 2. 2009, 03:49
V matematice je neutrální prvek množiny S s binární operací takový prvek, který nechává ostatní prvky na místě.
Formální definice
Buď S množina a * operace na S. Pak prvek e z S se nazývá levý neutrální, platí -li e * a = a pro všechny a z S. Prvek e se nazývá pravý neutrální, platí-li a * e = a pro všechna a z S. Pokud je e pravý i levý neutrální, nazývá se jednoduše neutrální, někdy též identita.
Příklady
- Pokud (S,*) jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrální prvek.
- Pokud (S,*) jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
- Pokud (S,*) jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
- Pokud (S,*) jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
- Pokud (S,*) je množina všech zobrazení z množiny M do sebe sama a * je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná id(x) = x pro každé x z M.
- Pokud má S pouze dva prvky e a f a operace * je definována tak, že e * e = f * e = e a f * f = e * f = f, jsou oba prvky e a f levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.
Jak ukazuje poslední příklad, (S,*) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině S levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový. Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak l = l * r = r. Především tedy v množině může být jen jeden neutrální prvek.