Těleso (algebra)

Těleso (angl. division ring) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace. Je rozšířením okruhu, oproti kterému navíc přináší existenci inverzního prvku pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Definice tělesa

Trojici $({\mathcal {F}},+,\cdot )$, kde ${\mathcal {F}}$ je množina a + (sčítání) a $\cdot$ (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li $({\mathcal {F}},+,\cdot )$ okruh a platí-li navíc

• pro každé $x\in {\mathcal {F}}\setminus \{0\}$ existuje $y\in {\mathcal {F}}$ tak , že $x\cdot y=y\cdot x=1$, což značíme $y=x^{-1}$.

Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina F s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:

• sčítání, přičemž (F,+,-,0) je Abelova grupa,
• násobení, příčemž $(F\setminus \{0\},\cdot ,^{-1},1)$ je grupa,

a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.

$a(b+c)=ab+ac$

$(b+c)a=ba+ca$

Komutativní těleso (z angl. field, proto bývá i v češtině komutativní těleso někdy označováno jako pole) je takové, že operace násobení $\cdot$ je komutativní, tzn. pro každé $x,y\in {\mathcal {F}}$ platí $x\cdot y=y\cdot x$.

Nadtěleso tělesa ${\mathcal {F}}$ je takové těleso, že ${\mathcal {F}}$ je jeho podmnožinou.

Příklady těles

• Množina racionálních čísel $\mathbb {Q}$
• Množina reálných čísel $\mathbb {R}$ a její největší algebraické komutativní nadtěleso, množina komplexních čísel $\mathbb {C}$
• Kvaterniony, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel $\mathbb {R}$
• Množina zbytkových tříd $\mathbb {Z} _{p}$ pro nějaké prvočíslo $p$.

Související články

• Archimédovské těleso

Externí odkazy

• Skripta Pěstujeme lineární algebru
• Komutativní těleso na MathWorld (en)
• Generování konečných těles