Lagrangeova funkce

Lagrangeova funkce nebo také lagrangián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.

Pro konzervativní systém má lagrangián tvar

${\mathcal {L}}=T({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},q_{1},q_{2},....q_{m},t)-V(q_{1},q_{2},...,q_{m},t)$

kde $q_{1},q_{2},...,q_{m}$ jsou zobecněné souřadnice, ${\dot {q}}_{i}$ jsou zobecněné rychlosti, $T$ je celková kinetická energie, $V$ je potenciální energie a $m$ je počet stupňů volnosti.

Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce $U({\dot {q}}_{i},q_{i},t)$, tzn.

${\mathcal {L}}=T({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},q_{1},q_{2},...,q_{m},t)-U({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},...,{\dot {q}}_{m},q_{1},q_{2},...,q_{m},t)$

Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskozní látky.

Vlastnosti

Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém v časovém intervalu $\langle t_{1},t_{2}\rangle$ popsán Lagrangeovou funkcí ${\mathcal {L}}(q_{j},{\dot {q}}_{j},t)$ pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí

${\overline {\mathcal {L}}}={\mathcal {L}}(q_{j},{\dot {q}}_{j},t)+{\dot {F}}(q_{j},t)$,

kde $F$ je libovolná funkce polohy a času.

Související články

• Lagrangeovská formulace mechaniky
• Eulerova-Lagrangeova rovnice