Podmnožina: Porovnání verzí
m <references /> |
m {{Commonscat}}; kosmetické úpravy |
||
| Řádek 1: | Řádek 1: | ||
[[Soubor:Subset.svg| |
[[Soubor:Subset.svg|náhled|B je podmnožina A, A je nadmnožina B]] |
||
V [[Matematika|matematice]] se jako '''podmnožina''' množiny ''A'' označuje taková [[množina]] ''B'', o jejíchž všech prvcích platí, že jsou zároveň i prvky množiny ''A''. Obdobně se může množina ''A'' označit jako '''nadmnožina''' množiny ''B''. Tato fakta značíme <math> B \subseteq A</math>, případně <math> A \supseteq B</math>. [[Relace (matematika)|Relace]] „být podmnožinou“ se nazývá také '''inkluze'''. |
V [[Matematika|matematice]] se jako '''podmnožina''' množiny ''A'' označuje taková [[množina]] ''B'', o jejíchž všech prvcích platí, že jsou zároveň i prvky množiny ''A''. Obdobně se může množina ''A'' označit jako '''nadmnožina''' množiny ''B''. Tato fakta značíme <math> B \subseteq A</math>, případně <math> A \supseteq B</math>. [[Relace (matematika)|Relace]] „být podmnožinou“ se nazývá také '''inkluze'''. |
||
| Řádek 9: | Řádek 9: | ||
== Formální definice == |
== Formální definice == |
||
<math> B \subseteq A \Leftrightarrow ( \forall X)(X \isin B \implies X \isin A)</math><br /> |
<math> B \subseteq A \Leftrightarrow ( \forall X)(X \isin B \implies X \isin A)</math><br /> |
||
<math> B \subset A \Leftrightarrow ( B \subseteq A \land (B \neq A))</math><br /> |
<math> B \subset A \Leftrightarrow ( B \subseteq A \land (B \neq A))</math><br /> |
||
== Způsoby zápisu == |
== Způsoby zápisu == |
||
Existují dva obvyklé způsoby zápisu podmnožin: Ve starším systému se symbolem „⊂“ označuje jakákoli podmnožina, zatímco symbolem „⊊“ se označuje vlastní podmnožina. V novějším systému se symbolem „⊂“ označuje vlastní podmnožina (ostrá inkluze)<ref name=":0" />, zatímco pro označení obecné podmnožiny se používá symbol „⊆“ (analogický např. k „≤“). |
Existují dva obvyklé způsoby zápisu podmnožin: Ve starším systému se symbolem „⊂“ označuje jakákoli podmnožina, zatímco symbolem „⊊“ se označuje vlastní podmnožina. V novějším systému se symbolem „⊂“ označuje vlastní podmnožina (ostrá inkluze)<ref name=":0" />, zatímco pro označení obecné podmnožiny se používá symbol „⊆“ (analogický např. k „≤“). |
||
== Příklady == |
== Příklady == |
||
* Množina { 1, 2, 3 } je vlastní podmnožinou množiny { 0, 1, 2, 3 }. |
* Množina { 1, 2, 3 } je vlastní podmnožinou množiny { 0, 1, 2, 3 }. |
||
* Množina všech [[Celé číslo|celých čísel]] je vlastní podmnožinou množiny všech [[Reálné číslo|reálných čísel]]. |
* Množina všech [[Celé číslo|celých čísel]] je vlastní podmnožinou množiny všech [[Reálné číslo|reálných čísel]]. |
||
| Řádek 27: | Řádek 24: | ||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
||
[[Binární relace|Relace]] <math> \subseteq </math> je [[Uspořádaná množina|uspořádání]] na množině všech podmnožin (tj. na [[Potenční množina|potenční množině]]) libovolně zvolené množiny - to znamená, že splňuje pravidla [[Reflexivní relace|reflexivity]], [[Tranzitivní relace|tranzitivity]] a [[Slabě antisymetrická relace|slabé antisymetrie]].<br /> |
[[Binární relace|Relace]] <math> \subseteq </math> je [[Uspořádaná množina|uspořádání]] na množině všech podmnožin (tj. na [[Potenční množina|potenční množině]]) libovolně zvolené množiny - to znamená, že splňuje pravidla [[Reflexivní relace|reflexivity]], [[Tranzitivní relace|tranzitivity]] a [[Slabě antisymetrická relace|slabé antisymetrie]].<br /> |
||
Na druhé straně existují na každé množině s alespoň dvěma různými prvky takové podmnožiny, které nejsou srovnatelné - <math> \neg (S_1 \subseteq S_2) \land \neg (S_2 \subseteq S_1)</math>. To znamená, že <math> \subseteq </math> není [[úplné uspořádání|úplné]], ale pouze [[částečné uspořádání]].<br /> |
Na druhé straně existují na každé množině s alespoň dvěma různými prvky takové podmnožiny, které nejsou srovnatelné - <math> \neg (S_1 \subseteq S_2) \land \neg (S_2 \subseteq S_1)</math>. To znamená, že <math> \subseteq </math> není [[úplné uspořádání|úplné]], ale pouze [[částečné uspořádání]].<br /> |
||
| Řádek 36: | Řádek 32: | ||
== Externí odkazy == |
== Externí odkazy == |
||
* {{Commonscat}} |
|||
* {{Wikislovník|heslo=podmnožina}} |
* {{Wikislovník|heslo=podmnožina}} |
||
Verze z 31. 5. 2021, 13:34
V matematice se jako podmnožina množiny A označuje taková množina B, o jejíchž všech prvcích platí, že jsou zároveň i prvky množiny A. Obdobně se může množina A označit jako nadmnožina množiny B. Tato fakta značíme , případně . Relace „být podmnožinou“ se nazývá také inkluze.
Každá množina je svojí podmnožinou. Podmnožina množiny B, která jí není rovna, se označuje jako vlastní podmnožina množiny B. Tzn. žádná množina není svojí vlastní podmnožinou. Relace "být vlastní podmnožinou" se též nazývá ostrá inkluze.[1]
Formální definice
Způsoby zápisu
Existují dva obvyklé způsoby zápisu podmnožin: Ve starším systému se symbolem „⊂“ označuje jakákoli podmnožina, zatímco symbolem „⊊“ se označuje vlastní podmnožina. V novějším systému se symbolem „⊂“ označuje vlastní podmnožina (ostrá inkluze)[1], zatímco pro označení obecné podmnožiny se používá symbol „⊆“ (analogický např. k „≤“).
Příklady
- Množina { 1, 2, 3 } je vlastní podmnožinou množiny { 0, 1, 2, 3 }.
- Množina všech celých čísel je vlastní podmnožinou množiny všech reálných čísel.
- Množina všech prvočísel větších než 500 je vlastní podmnožinou všech lichých čísel.
- Množina { 2 } je podmnožinou množiny sudých prvočísel (ovšem nikoli vlastní podmnožinou, protože je jí rovna).
- Množina českých prezidentů je vlastní podmnožinou množiny hlav evropských států.
- Prázdná množina je podmnožinou každé množiny.
Vlastnosti
Relace je uspořádání na množině všech podmnožin (tj. na potenční množině) libovolně zvolené množiny - to znamená, že splňuje pravidla reflexivity, tranzitivity a slabé antisymetrie.
Na druhé straně existují na každé množině s alespoň dvěma různými prvky takové podmnožiny, které nejsou srovnatelné - . To znamená, že není úplné, ale pouze částečné uspořádání.
Prázdná množina je nejmenším prvkem libovolné potenční množiny vzhledem k uspořádání .
Reference
- ↑ a b is.mendelu.cz [online]. [cit. 2019-01-26]. Dostupné online.
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu podmnožina na Wikimedia Commons 
Slovníkové heslo podmnožina ve Wikislovníku
