Steinerův systém: Porovnání verzí
m citace značka: editace z Vizuálního editoru |
m citace značka: editace z Vizuálního editoru |
||
Řádek 16: | Řádek 16: | ||
t-i \\ |
t-i \\ |
||
\end{array} |
\end{array} |
||
\right)} </math> musí být celočíselné pro každé <math> 0<i<t </math> |
\right)} </math> musí být celočíselné pro každé <math> 0<i<t </math><ref>{{Citace monografie |
||
| příjmení = Biggs |
|||
| jméno = Norman L. |
|||
| příjmení2 = White |
|||
| jméno2 = Arthur T |
|||
| titul = Permutation groups and combinatorial structures |
|||
| vydavatel = Cambridge University Press |
|||
| rok vydání = 1979 |
|||
| počet stran = 140 |
|||
| isbn = 978-0521222877 |
|||
}}</ref> |
|||
Zlomek vyjadřuje počet bloků, v nichž leží každá <math>i-</math>tice bodů. |
Zlomek vyjadřuje počet bloků, v nichž leží každá <math>i-</math>tice bodů. |
Verze z 22. 4. 2021, 10:33
Steinerův systém , , podle matematika Jakoba Steinera, je konečná kombinatorická struktura - systém prvkových podmnožin základní prvkové množiny (tzv. bloků) s vlastností, že každých bodů leží společně v právě jednom bloku. Steinerovy systémy zobecňují konečné geometrie, které odpovídají : v geometrii každé dva body určují právě jednu přímku.
Existence Steinerových systémů
Základním matematickým problémem Steinerových systémů je, zda pro daná vůbec existuje. Tento problém je až na výjimky otevřený; výjimky určuje několik známých konstrukcí a naopak několik podmínek, které pro jiná existenci vylučují.
Utržením jednoho bodu ze Steinerova systému získáme po odstranění bloků, v nichž tento bod neležel, tzv. derivovaný systém Derivovaný systém také musí splňovat axiomy Steinerova systému, jeho derivovaný systém také atd. Z toho plyne soustava nutných podmínek pro existenci :
- musí být celočíselné pro každé [1]
Zlomek vyjadřuje počet bloků, v nichž leží každá tice bodů.
Splnění této sady podmínek však stále není postačující pro existenci ; již vyvráceny byly například existence , či
Pro známe (nebo dovedeme prokázat existenci) jen konečně mnoho Steinerových systémů; pro žádný.
Dosud známé nekonečné třídy Steinerových systémů[2]
- pro mocnina prvočísla a (afinní geometrie)
- pro mocnina prvočísla a (sférické geometrie)
- pro mocnina prvočísla a (projektivní geometrie)
- pro mocnina prvočísla
- pro (Dennistonův design)
Steinerovy systémy v teorii grup
Speciální Steinerovy systémy jsou jednou z ekvivalentních možností jak definovat vysoce tranzitivní Mathieu grupy:
- transitivní Mathieu grupa je grupou automorfismů Steinerova systému
- transitivní Mathieu grupa je grupou automorfismů Steinerova systému
- transitivní Mathieu grupa je grupou automorfismů Steinerova systému
- transitivní Mathieu grupa je grupou automorfismů Steinerova systému
- transitivní Mathieu grupa je grupou automorfismů Steinerova systému
- ↑ BIGGS, Norman L.; WHITE, Arthur T. Permutation groups and combinatorial structures. [s.l.]: Cambridge University Press, 1979. 140 s. ISBN 978-0521222877.
- ↑ COLBOURN, Charles J.; DINITZ, Jeffrey H. Handbook of combinatorial designs. II.. vyd. [s.l.]: CRC Press, 2006. 1016 s. ISBN 9780429138485. S. 102-110.