Diskriminant: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 7. 4. 2021, 09:17

Diskriminant je polynom s reálnými nebo imaginárními koeficienty, který se používá při řešení polynomických rovnic, především kvadratických, také při studiu vlastností kvadratických funkcí nebo při určování tečen ke kuželosečkám.^[1]

Diskriminant kvadratických rovnic

Pro kvadratickou rovnici $ax^{2}+bx+c=0$ (kde $a\neq 0$ ) je diskriminant $D=b^{2}-4ac$ .

Znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:^[2]

Pokud $D>0$ , pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ .
Pokud $D=0$ , pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen $x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}$ .
Pokud $D<0$ , pak má daná rovnice právě dva různé komplexně sdružené kořeny $x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}}$ .

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem: $ax^{2}+c=0$ (kde $a,c\neq 0$ ), je $D_{r}=-4ac$ ; pokud je kladný (liší se znaménko $a$ a $c$ ), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: $x_{1,2}=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}$ .

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru, dané předpisem: $x^{2}+bx+c=0$ , je $D_{n}=b^{2}-4c$ (pro výpočet kořenů lze použít také Viètovy vzorce).

Diskriminant triviální kvadratické rovnice $ax^{2}=0$ (kde $a\neq 0$ ) je roven 0.

Diskriminant kubických rovnic

U kubické rovnice $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ (kde $a\neq 0$ ) je diskriminant $D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd$ .

Reference

↑ ŠVRČEK, Jaroslav; HRUBÝ, Dag. Využití diskriminantu kvadratické rovnice [online]. Olomouc: PF UP, 2017 [cit. 2021-04-06]. Dostupné online.
↑ ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. 2., opr. vyd. Brno: Didaktis 208 s. ISBN 80-86285-97-9, ISBN 978-80-86285-97-9. OCLC 53261459

Související články

Externí odkazy

Diskriminant v encyklopedii MathWorld (anglicky)

[1] ŠVRČEK, Jaroslav; HRUBÝ, Dag. Využití diskriminantu kvadratické rovnice [online]. Olomouc: PF UP, 2017 [cit. 2021-04-06]. Dostupné online.

[2] ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. 2., opr. vyd. Brno: Didaktis 208 s. ISBN 80-86285-97-9, ISBN 978-80-86285-97-9. OCLC 53261459

[1]

[2]

@@ Řádek 2: / Řádek 2: @@
 | příjmení = Švrček
 | jméno = Jaroslav
+| odkaz na autora = Jaroslav Švrček
-| příjmení2 = Hrubý,D
+| příjmení2 = Hrubý
+| jméno2 = Dag
 | titul = Využití diskriminantu kvadratické rovnice
 | url = http://mfi.upol.cz/files/26/2605/mfi_2605_all.pdf
@@ Řádek 8: / Řádek 10: @@
 | místo = Olomouc
 | datum vydání = 2017
-| datum přístupu = 6.4.2021
+| datum přístupu = 2021-04-06
 }}</ref>
@@ Řádek 14: / Řádek 16: @@
 Pro [[kvadratická rovnice|kvadratickou rovnici]] <math>ax^2 + bx + c = 0</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je diskriminant <math>D = b^2 - 4ac</math>.
+Znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:<ref>{{Citace monografie
-* <math>D > 0</math>, pak má daná rovnice právě dva různé [[reálné číslo|reálné]] [[kořen (matematika)|kořeny]] <math>x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2a}</math>.
-* <math>D = 0</math>, pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný [[reálné číslo|reálný]] [[kořen (matematika)|kořen]] <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>.
-* <math>D < 0</math>, pak má daná rovnice právě dva různé [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdružené]] [[kořen (matematika)|kořeny]] <math>x_{1,2} = \frac{- b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}</math>.<ref>{{Citace monografie
 | příjmení = Čermák
 | jméno = Pavel
 | titul = Odmaturuj! z matematiky
+| vydání = 2
-| url = https://www.worldcat.org/oclc/53261459
-| vydání = 2. (opr.)
+| typ vydání = opr.
 | vydavatel = Didaktis
 | místo = Brno
@@ Řádek 29: / Řádek 29: @@
 | oclc = 53261459
 }}</ref>
+* Pokud <math>D > 0</math>, pak má daná rovnice právě dva různé [[reálné číslo|reálné]] [[kořen (matematika)|kořeny]] <math>x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2a}</math>.
+* Pokud <math>D = 0</math>, pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný [[reálné číslo|reálný]] [[kořen (matematika)|kořen]] <math>x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}</math>.
+* Pokud <math>D < 0</math>, pak má daná rovnice právě dva různé [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdružené]] [[kořen (matematika)|kořeny]] <math>x_{1,2} = \frac{- b \pm i\sqrt{|D|}}{2a}</math>.
-[[kvadratická rovnice|Ryze kvadratické rovnice]], daná předpisem: <math>ax^2 + c = 0</math> (kde <math>a, c \neq 0</math>); diskriminant <math>D_r = -4ac</math>; daná rovnice má tedy dva navzájem opačné kořeny: <math>x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}</math>
+Diskriminant [[kvadratická rovnice|ryze kvadratické rovnice]], dané předpisem: <math>ax^2 + c = 0</math> (kde <math>a, c \neq 0</math>), je <math>D_r = -4ac</math>; pokud je kladný (liší se znaménko <math>a</math> a <math>c</math>), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: <math>x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}</math>.
-Kvadratické rovnice v normovaném tvaru daná předpisem: <math>x^2 + bx + c = 0</math>; diskriminant je <math>D_n = b^2 - 4c</math>; (lze použít také [[Viètovy vzorce]] pro výpočet kořenů)
+Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru, dané předpisem: <math>x^2 + bx + c = 0</math>, je <math>D_n = b^2 - 4c</math> (pro výpočet kořenů lze použít také [[Viètovy vzorce]]).
-Diskriminant triviální kvadratické rovnice <math>ax^2 = 0</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je roven 0
+Diskriminant triviální kvadratické rovnice <math>ax^2 = 0</math> (kde <math>a \neq 0</math>) je roven 0.
 == Diskriminant kubických rovnic ==
@@ Řádek 48: / Řádek 51: @@
 == Externí odkazy ==
 * {{MathWorld|id=Discriminant}}
-{{Pahýl}}
 {{Portály|Matematika}}