Peanova existenční věta: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 13. 1. 2021, 06:05

Peanova existenční věta, Peanova věta nebo Cauchyho-Peanova věta je stěžejní matematická věta, která při řešení obyčejných diferenciálních rovnic zaručuje existenci řešení určitých počátečních úloh. Je pojmenovaná po Giuseppe Peanovi a Augustinu Louisovi Cauchym.

Historie

Peano publikoval tuto větu poprvé v roce 1886 s nesprávným důkazem. V roce 1890 publikoval její správný důkaz pomocí metody postupných aproximací.

Věta

Nechť D je otevřená podmnožina R × R,

f\colon D\to \mathbb {R}

je spojitá funkce a

y'(x)=f\left(x,y(x)\right)

je spojitá explicitní obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu definovaná na D.

Pak každá počáteční úloha

y\left(x_{0}\right)=y_{0}

pro f s $(x_{0},y_{0})\in D$ má lokální řešení

z\colon I\to \mathbb {R}

kde $I$ je okolí bodu $x_{0}$ v $\mathbb {R}$ , takové, že $z'(x)=f\left(x,z(x)\right)$ pro všechna $x\in I$ ^[1].

Všimněte si, že řešení nemusí být jednoznačné: jedna a tatáž počáteční hodnota (x₀,y₀) může vést k mnoha různým řešením z.

Příbuzné věty

Peanovu věta můžeme porovnávat s jinou existenční větou ve stejném kontextu, s větou Picardovou–Lindelöfovou. Picardova–Lindelöfova věta má silnější předpoklády, ale i silnější tvrzení; vyžaduje Lipschitzovskou spojitost, zatímco Peanova věta vyžaduje pouze obyčejnou spojitost. Picardova–Lindelöfova věta ale zaručuje jak existenci tak jednoznačnost řešení, zatímco Peanova věta zaručuje pouze existenci řešení. Pro ilustraci uvažujme obyčejnou diferenciální rovnici

y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}

na intervalu

<0,1>.

Podle Peanovy věty má tato rovnice řešení, ale Picardovu-Lindelöfovu větu nelze použít, protože pravá strana rovnice není Lipschitzovsky spojitá v žádném okolí obsahujícím 0. Z toho můžeme vyvodit existenci řešení, ale ne jeho jednoznačnost. Ukazuje se, že tato obyčejná diferenciální rovnice má pro počáteční podmínku $y(0)=0$ dva typy řešení: buď $y(x)=0$ nebo $y(x)=x^{2}/4$ . Přechod mezi $y=0$ a $y=(x-C)^{2}/4$ může nastat v libovolném C.

Carathéodoryho existenční věta je zobecněním Peanovy existenční věty se slabší podmínkou než je spojitost.

Poznámky

↑ strana 6

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Peano existence theorem na anglické Wikipedii.

G. Peano, Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 437–445.[1]
G. Peano, Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
CODDINGTON, Earl.; LEVINSON, Norman. Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill, 1955. Dostupné online.
TESCHL, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2012. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-8328-0. ^{[nedostupný zdroj]}
Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S., Existence Theorems for Ordinary Differential Equations, Krieger, New York, Reprinted 1976, Původní vydání publikoval New York University Press, 1954

Související články

[1] strana 6

[1]

@@ Řádek 1: / Řádek 1: @@
+'''Peanova existenční věta''', '''Peanova věta''' nebo '''Cauchyho-Peanova věta''' je stěžejní [[matematika|matematická]] věta, která při řešení [[obyčejná diferenciální rovnice|obyčejných diferenciálních rovnic]] zaručuje [[existence|existenci]] řešení určitých [[počáteční úloha|počátečních úloh]]. Je pojmenovaná po [[Giuseppe Peano|Giuseppe Peanovi]] a [[Augustin Louis Cauchy|Augustinu Louisovi Cauchym]].
-Peanova věta je výrok z teorie obyčejných diferenciálních rovnic. Poskytuje jednoduchý předpoklad, podle kterého má problém počáteční hodnoty (alespoň) jedno lokální řešení. Tato věta byla publikována v roce 1886 matematikem Giuseppe Peano s chybným důkazem. V roce 1890 poskytl správné důkazy.
+== Historie ==
-Ve srovnání s Picard-Lindelöfovou větou o existenci a jedinečnosti má věta o Peanově existenci tu výhodu, že má slabší požadavky. Místo toho nečiní žádná prohlášení ohledně jedinečnosti řešení. Jakmile máte (místní) řešení, můžete ve druhém kroku odvodit existenci nespojitého řešení. V tomto ohledu je Peanova věta prvním krokem v existenciální teorii diferenciální rovnice.
+Peano publikoval tuto větu poprvé v roce 1886 s nesprávným důkazem. V roce 1890 publikoval její správný důkaz pomocí metody postupných aproximací.
-== Formulace ==
+== Věta ==
+Nechť ''D'' je [[otevřená množina|otevřená]] podmnožina '''R''' × '''R''',
-Je dána <math>F\colon G \to \R^n</math> spojitá funkce. Vaše doména definice <math>G</math> je jednou <math>[a,b] \times \overline{B}\left(y_0, R\right)</math> komplexní podskupinou <math>\mathbb{R} \times \R^n</math>. Zde označeno <math>\overline{B}\left(y_0, R\right)</math> dokončená koule kolem <math>y_0 \in \R^n</math> s poloměrem <math>R > 0</math>, diferenciální&nbsp;h.
+:<math>f\colon D \to \mathbb{R}</math>
+je spojitá funkce a
+:<math>y'(x) = f\left(x,y(x)\right)</math>
+je [[spojitá funkce|spojitá]] explicitní [[obyčejná diferenciální rovnice]] prvního řádu definovaná na ''D''.
+Pak každá počáteční úloha
-: <math>\overline{B}\left(y_0,R\right) := \{z \in \R^n \mid \|z-y_0\| \leq R\}</math>.
+:<math>y\left(x_0\right) = y_0</math>
+pro ''f'' s <math>(x_0, y_0) \in D</math>
+má lokální řešení
+:<math>z\colon I \to \mathbb{R}</math>
+kde <math>I</math> je [[okolí (matematika)|okolí]] bodu <math>x_0</math> v <math>\mathbb{R}</math>,
+takové, že <math> z'(x) = f\left(x,z(x)\right) </math> pro všechna <math> x \in I </math><ref>[[#CITEREFCoddingtonLevinson1955|strana 6]]</ref>.
+Všimněte si, že řešení nemusí být jednoznačné: jedna a tatáž počáteční hodnota (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) může vést k mnoha různým řešením ''z''.
-Pak je tu každý problém s počáteční hodnotou <math>\ y(a)=y_0</math> Pak je tu každý problém s počáteční hodnotou <math>y'(t)=F(t,y(t))</math> alespoň lokální řešení. Přesněji to znamená, že existuje <math>\alpha>0</math> dává a nepřetržitě diferencovatelnou funkci <math>y\colon[a,a+\alpha]\to \R^n</math>, který splňuje dvě podmínky:
-* Pro všechna <math>t\in[a,a+\alpha]</math> leží bod<math>(t,y(t))</math> v <math>G</math>.
-* Pro všechna <math>t\in[a,a+\alpha]</math> je diferenciální rovnice <math>y'(t)=F(t,y(t))</math> splňuje.
-Jedno takové <math>\alpha > 0</math> lze přesně určit: Na uzavřené a omezené množině <math>[a,b] \times \overline{B}\left(y_0,R\right)</math> má spojitou funkci <math>\|F\|</math> nastavena maximální hodnotu
-: <math>M := \max\{\|F(x,y)\| \mid (x,y) \in [a,b]\times \overline{B}\left(y_0,R\right)\}</math>.
-Toto číslo je vázáno na sklon možného řešení. Vyberme si hned
-== <math>\alpha := \min\left\{b-a, \frac{R}{M}\right\} > 0\ .</math> ==
-Pak existuje (alespoň) jedno řešení problému počáteční hodnoty
-: <math>y'=F(x,y)\ ,\ y(a) = y_0</math>
-na intervalu <math>[a,a+\alpha]</math> s hodnotami v <math>\overline{B}\left(y_0,R\right)</math>.
-Poznámka: Na komplexní diferenciální rovnice lze pohlížet analogicky tak, že budeme uvažovat o skutečné a imaginární části složité složky jako o nezávislé reálné složce, diferenciální&nbsp;hodnoty, tím, že dělá <math>\mathbb C^n</math>, zapomenout na složité násobení <math>\R^{2n}</math> je identifikován.
-== Pro skutečné Banachovy prostory ==
-<math>X</math> je skutečný Banachový prostor a <math>f\colon[0,T] \times X \to X </math> stabilní a kompaktní. Při každé počáteční hodnotě <math> x_0 \in X </math> pak existuje nějaké <math> \tau > 0 </math> a nějaké řešení <math> x(\cdot) \in C^1([0,\tau],X) </math> obyčejná diferenciální rovnice
-: <math> x'(\cdot)=f(\cdot,x(\cdot))</math>
-s <math> x(0) = x_0 </math>.
-Poznámka: V případě <math>\dim(X)<\infty</math> vyplývá z kontinuity kompaktnost<math> f </math>.
-== Důkazní skica konečněrozměrného případu ==
-Tato věta je prokázána ve dvou částech. Prvním krokem je použít Eulerovu polygonovou metodu pro každou z nich <math>\varepsilon>0</math> charakteristický <math>\varepsilon</math>-Přibližné řešení této diferenciální rovnice, přesněji: Jeden konstruuje po částech spojitě diferencovatelnou funkci <math>y_\varepsilon \in C([a,a+\alpha]; \overline{B}(y_0,R))</math> s <math>y_\varepsilon(a) = y_0</math>, která
-: <math>\|y_\varepsilon'(x) - F(x,y_\varepsilon(x))\| \leq \varepsilon</math>
-splněny v každém diferencovatelném rozlišitelném bodě i podmínka rovnosti
-: <math>\|y(t)-y(s)\| \leq M|t-s|</math>
-pro všechna <math>s,t \in [a,a+\alpha]</math>.
-V druhém krok ukazuje pomocí věty Arzelà-Ascoliho, že existuje jednotně konvergentní subsekvence dána <math>(y_{\varepsilon_j})_{j\in\mathbb{N}}</math>. Z jejich limitní funkce <math>y</math> se pak prokázalo, že integrální rovnici
-: <math>y(x) = y_0 + \int_a^xF(s,y(s)){\rm d}s</math>
-splňuje. Ze základní věty o analýze vyplývá, že <math>y</math> je stále dost spojitě diferencovatelná a diferenciální rovnice<math>\ y'(x) = F(x,y(x))</math>.
 == Příbuzné věty ==
@@ Řádek 77: / Řádek 44: @@
 * {{Citace monografie| příjmení = Teschl| jméno = Gerald| odkaz na autora = Gerald Teschl| titul = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems| vydavatel = American Mathematical Society| místo = Providence, Rhode Island| 7 = Providence| rok = 2012| isbn = 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.v/~gerald/ftp/book-ode/}}{{Nedostupný zdroj}}
 * Murray, Francis J.; Miller, Kenneth S., Existence Theorems for Ordinary Differential Equations, Krieger, New York, Reprinted 1976, Původní vydání publikoval New York University Press, 1954
-A překlad textu z  článku https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Peano na německé Wikipedii
-* Herbert Amann: ''Gewöhnliche Differentialgleichungen''. 2. Auflage. Gruyter – de Gruyter Lehrbücher, Berlin / New York 1995, <nowiki>ISBN 3-11-014582-0</nowiki>.
-* Gerald Teschl:  (= . Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, <nowiki>ISBN 978-0-8218-8328-0</nowiki> (mat.univie.ac.at).
 == Související články ==