Matematické kyvadlo: Porovnání verzí

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Smazaný obsah Přidaný obsah
Úprava vzorce do vzhlednějšího formátu.
značky: editace z mobilu editace z mobilního webu
Řádek 24: Řádek 24:
: <math> \ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \varphi = 0.</math>
: <math> \ddot{\varphi} + \frac{g}{l} \varphi = 0.</math>


Tato rovnice má partikulární řešení pro počáteční úhlovou výchylku <math>\varphi_m</math> (jejíž velkost je amplitudou) a nulovou počáteční rychlost
Tato rovnice má partikulární řešení pro počáteční úhlovou výchylku <math>\varphi_m</math> (jejíž velikost je amplitudou) a nulovou počáteční rychlost


: <math> \varphi(t) = \varphi_m \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t \right) </math>,
: <math> \varphi(t) = \varphi_m \cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t \right) </math>,

Verze z 7. 10. 2020, 16:42

Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je nejjednodušším matematickým modelem kyvadla. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavěšený na tenkém nepružném dokonale ohebném vlákně zanedbatelné hmotnosti, zanedbává se odpor vzduchu při pohybu kyvadla i tření v závěsu a tíhové pole se považuje za homogenní. Pohyb se navíc děje v jedné rovině a lze jej tak popsat jednou souřadnicí, většinou úhlem výchylky z rovnovážné polohy. Matematické kyvadlo je netlumený mechanický oscilátor, tedy soustava, která po dodání počáteční energie periodicky kmitá. Je to nelineární systém, ale při malých výchylkách (±5°) je průběh tohoto kmitání přibližně harmonický, lze jej tedy vyjádřit např. pomocí funkce sinus.

Matematický popis

Na hmotný bod působí jen tíhová síla a tahová síla vlákna, která ho udržuje stále ve stejné vzdálenosti od závěsu. Velikost tečné složky síly je

,

kde je tíhové zrychlení a φ je úhel, o který je vlákno vychýleno z rovnovážné polohy.

Pro velikost tečného zrychlení platí:

Diferenciální rovnice pohybu kyvadla je z 2. Newtonova pohybového zákona tedy

,

kde je délka vlákna. Pokud je maximální výchylka z rovnovážné polohy malá (viz přesné řešení dále), lze funkci sinus nahradit lineární funkcí - přímo úhlem (v obloukové míře)

.

Diferenciální rovnice má proto podstatně jednodušší tvar (lineární homogenní 2. řádu)

Tato rovnice má partikulární řešení pro počáteční úhlovou výchylku (jejíž velikost je amplitudou) a nulovou počáteční rychlost

,

kde je čas, což je pohybová rovnice lineárního harmonického oscilátoru s kruhovou frekvencí ω a periodou T

.

Je vidět, že periodu ovlivňuje pouze délka kyvadla a (místní) tíhové zrychlení, hmotnost závaží na ni samozřejmě nemá vliv. Matematické kyvadlo lze tedy použít k měření místního zrychlení.

Reálné kyvadlo

Související informace naleznete také v článku Fyzikální kyvadlo.

Neuvažujeme-li pouze malé výchylky kyvadla jako v předchozím případě, je mnohem náročnější pohybovou diferenciální rovnici vyřešit. K jejímu řešení je potřeba vyšší transcendentní funkce úplný eliptický integrál I. druhu

pomocí nějž lze vyjádřit přesný vzorec pro periodu v závislosti na úhlovém rozkmitu

Kyvadlo už v tomto případě není harmonický oscilátor. Periodu kmitání kyvadla lze vyjádřit pomocí řady

.

Pokud uvažujeme nenulové tření při pohybu kyvadla přímo úměrné rychlosti, klesá maximální výchylka při kmitání exponenciálně v závislosti na čase.

Redukovaná délka

Délka matematického kyvadla, které se kývá stejně (tzn. má stejnou periodu) jako fyzické kyvadlo, se nazývá redukovaná délka fyzického kyvadla. Mají-li být periody stejné pak platí

,

kde představuje redukovanou délku kyvadla, je hmotnost tělesa, je vzdálenost závěsu od těžiště a je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose rotace.

Reverzní kyvadlo

Reverzní kyvadlo.

Pokud naneseme na přímku, která je kolmá k ose otáčení a současně prochází těžištěm tělesa, redukovanou délku kyvadla, dostaneme bod . Tento bod se nazývá střed kyvu a má tu vlastnost, že těleso, zavěšené na ose procházející bodem má stejnou periodu, jako těleso zavěšené v bodě .

Je-li totiž moment setrvačnosti tělesa k ose jdoucí těžištěm a jeho moment setrvačnosti kolem rovnoběžné osy kyvu , pak redukovaná délka je

,

kde označuje vzdálenost těžiště od bodu .

Kýve-li se těleso kolem středu kyvu , platí podle Steinerovy věty

Pro redukovanou délku dostaneme

Z předchozích vztahů pak plyne

Redukovaná délka pro osu je tedy stejná jako pro původní osu .

Pokud je těleso zavěšeno v bodě , který je od bodu vzdálen o redukovanou délku , dostaneme tzv. reverzní (převratné) kyvadlo. Perioda převratného kyvadla je opět dána vztahem

.

Související články