Thaletova věta: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 9. 1. 2020, 13:30

Thaletova věta je matematická věta o velikosti úhlů trojúhelníků vytvořených nad průměrem kružnice. Je pojmenována po Thalétovi z Milétu, který ji jako první dokázal.

Kružnice, která je součástí konstrukce Thaletovy věty, bývá označována jako Thaletova kružnice.

Znění

Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé.

Jiné znění: Všechny trojúhelníky, jejichž nejdelší stranu půlí střed kružnice opsané, jsou pravoúhlé.

Nebo jinak: Sestrojme libovolnou kružnici s průměrem. Koncové body jejího průměru označíme A a B a zvolíme libovolný bod C na kružnici. Pak platí, že trojúhelník ABC je pravoúhlý a má pravý úhel u vrcholu C.

Původní znění^[zdroj⁠?]: "Středový úhel je dvojnásobek obvodového" Z toho vyplývají předešlá znění. (Při středovém úhlu 180° - přímka je obvodový úhel pravý - 90°)

Důkaz

Na horním obrázku je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky CSB a ASC jsou rovnoramenné (vždy dvě z jejich ramen jsou dlouhá r), má úhel ∠BCA velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku ABC je pak:

α + β + α + β = 2 α + 2 β = 180°.

Pokud poslední rovnost vydělíme dvěma, dostaneme, že úhel
∠BCA = α + β = 90°.

Geometrický důkaz

Bod A, vrchol trojúhelníku ABC, můžeme promítnout podle středové souměrnosti do bodu D, takže vznikne trojúhelník CBD. Strany čtyřúhelníka ABDC jsou po dvou rovnoběžné a obě jeho úhlopříčky (AD a CB) jsou průměry kružnice a tedy stejně dlouhé. Čtyřúhelník ABDC je tedy pravoúhlý a pravý je i úhel CAB.

Zobecnění

Thaletova věta je zvláštní případ věty: Jestliže máme tři body A, B a C na kružnici se středem S, potom úhel ∠ASC je dvakrát tak velký než úhel ∠ABC.

Historie

Thalés z Milétu nebyl první, kdo tuto větu vyslovil. Byla známá již Egypťanům a Babyloňanům, ačkoli ti ji znali jen ze zkušenosti, nedokázali ji. To udělal až Thalés, který využil znalostí toho, že úhly při základně rovnoramenného trojúhelníku mají stejnou velikost a součet úhlů v trojúhelníku je roven dvěma pravým úhlům.

Literatura

Jiří Doležal: Základy geometrie, Vysoká škola báňská – Technická univerzita v Ostravě, Ostrava 2006, ISBN 80-248-1202-9, str. 13
Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 16-17

Související články

Tečna kružnice

@@ Řádek 14: / Řádek 14: @@
 == Důkaz ==
-Podívejte se na horní obrázek, kde je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky '''CSB''' a '''ASC''' jsou rovnoramenné (vždy dvě jejich ramena jsou dlouhá ''r''), má úhel '''∠BCA''' velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku '''ABC''' je pak:
+Na horním obrázku je příklad úhlu sestrojeného nad průměrem kružnice. Protože trojúhelníky '''CSB''' a '''ASC''' jsou rovnoramenné (vždy dvě z jejich ramen jsou dlouhá ''r''), má úhel '''∠BCA''' velikost α+β. Součet úhlů v trojúhelníku '''ABC''' je pak:
-[[Soubor:Thales theorem by refelection1.svg |thumb|upright=1.0| Čtyřúhelník ACBD je rovnoběžník a úhlopříčky AB i CD jsou stejně dlouhé, takže je to rovnoběžník pravoúhlý ]]
+[[Soubor:Thales geometric.jpg |thumb|upright=1.0| Čtyřúhelník ABDC je rovnoběžník a úhlopříčky AD i CB jsou stejně dlouhé, takže je to rovnoběžník pravoúhlý ]]
 [[Soubor:Thaletova veta zobecneni.svg|thumb|Zobecnění Thaletovy věty.]]
 ''α'' + ''β'' + ''α'' + ''β'' = 2 ''α'' + 2 ''β'' = 180°.
-Z toho pak snadno vyjádříme, že [[úhel]]<br>
+Pokud poslední rovnost vydělíme dvěma, dostaneme, že [[úhel]]<br>
 '''∠BCA''' = ''α'' + ''β'' = 90°.
 === Geometrický důkaz ===
-Trojúhelník '''ACB''' nad průměrem kružnice '''AB''' můžeme zrcadlově sklopit kolem tohoto průměru (trojúhelník '''ABC'''') a ještě jednou kolem svislé osy kruhu (trojúhelník '''ABD'''). Strany čtyřúhelníka '''ACBD''' jsou po dvou rovnoběžné a obě jeho úhlopříčky ('''AB''' a '''CD''') jsou průměry kružnice a tedy stejně dlouhé. Čtyřúhelník '''ACBD''' je tedy pravoúhlý a pravý je i úhel '''ACB'''.
+Bod '''A''', vrchol trojúhelníku '''ABC''', můžeme promítnout podle středové souměrnosti do bodu '''D''', takže vznikne trojúhelník '''CBD'''.  Strany čtyřúhelníka '''ABDC''' jsou po dvou rovnoběžné a obě jeho úhlopříčky ('''AD''' a '''CB''') jsou průměry kružnice a tedy stejně dlouhé. Čtyřúhelník '''ABDC''' je tedy pravoúhlý a pravý je i úhel '''CAB'''.
 == Zobecnění ==