Monoid: Porovnání verzí
+kategoriální monoidy |
m →Teorie kategorií: doplnění podmínek |
||
Řádek 28: | Řádek 28: | ||
==Teorie kategorií== |
==Teorie kategorií== |
||
V teorii kategorií je monoid objekt v [[monoidální kategorie|monoidální kategorii]] se dvěma morfismy (v [[kategorie funktorů|kategorii funktorů]] [[přirozená transformace|přirozenými transformacemi]]) <math>(M,\mu,\eta)</math> splňující <math>\mu\circ(\eta\otimes 1)=\lambda</math>. |
V teorii kategorií je monoid objekt v [[monoidální kategorie|monoidální kategorii]] se dvěma morfismy (v [[kategorie funktorů|kategorii funktorů]] [[přirozená transformace|přirozenými transformacemi]]) <math>(M,\mu,\eta)</math> splňující <math>\mu\circ(\eta\otimes 1)=\lambda</math>, <math>\mu\circ(1\otimes\eta)=\rho</math> a <math>\mu \circ (\mu\otimes 1)=\mu \circ (1 \otimes \mu) \circ\alpha</math>. |
||
Morfismus <math>f:M\rightarrow M'</math> je morfismem mezi monoidy, pokud <math>\eta'=f\circ \eta</math> a <math>f\circ\mu=\mu'\circ(f\otimes f)</math>. |
Morfismus <math>f:M\rightarrow M'</math> je morfismem mezi monoidy, pokud <math>\eta'=f\circ \eta</math> a <math>f\circ\mu=\mu'\circ(f\otimes f)</math>. |
||
Monoidy v kategorii '''Set''' známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť '''Set''' s operací <math>\times</math> a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii. |
Monoidy v kategorii '''Set''' známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť '''Set''' s operací <math>\times</math> a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii. |
Verze z 28. 9. 2019, 23:38
V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem. Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.
Definice
Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací „·“ : M × M → M, a těmito axiomy:
- Asociativita: ∀ x, y, z ∈ M (x·y)·z = x·(y·z)
- Neutrální prvek: (∃e∈ M) (∀x∈ M) x·e = e·x = x.
Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.
- ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M
Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.
Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.
Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.
Příklady
- Přirozená čísla tvoří komutativní monoid k operaci násobení.
- Množina všech matic n×n tvoří monoid vůči sčítání i násobení
Homomorfismus monoidů
O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:
- ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
- f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).
Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.
Teorie kategorií
V teorii kategorií je monoid objekt v monoidální kategorii se dvěma morfismy (v kategorii funktorů přirozenými transformacemi) splňující , a . Morfismus je morfismem mezi monoidy, pokud a . Monoidy v kategorii Set známé z algebry jsou příkladem kategorických monoidů, neboť Set s operací a terminálním prvkem tvoří monoidální kategorii.
Odkazy
Související články
- Grupoid
- Pologrupa
- Grupa - monoid rozšířený o inverzní operaci
- Volný monoid