Tenzor

Tenzor je v matematice objekt, který je zobecněním pojmu vektor. Zatímco složky vektoru je možné označit jedním indexem, tenzor může mít více indexů, např. $T_{kl\cdots n}$.

Jako tenzor T se označuje soubor reálných a nebo komplexních čísel $T_{{i_{1}}{i_{2}}\cdots {i_{n}}}$ (počet indexů je n), které se nazývají složky (komponenty) tenzoru a které se při transformaci souřadnic $x_{i}^{\prime }=\sum _{j}a_{ij}x_{j}$ transformují následujícím způsobem:

$T_{{i_{1}}{i_{2}}\cdots {i_{n}}}^{\prime }=\sum _{{k_{1}}{k_{2}}\cdots {k_{n}}}a_{{i_{1}}{k_{1}}}a_{{i_{2}}{k_{2}}}\cdots a_{{i_{n}}{k_{n}}}T_{{k_{1}}{k_{2}}\cdots {k_{n}}}$

Pokud n je počet indexů tenzoru T, nazýváme T tenzorem n-tého řádu.

Část matematiky, která při své práci používá tenzory, se označuje jako tenzorový počet. Tenzory se uplatňují nejen v matematice, ale i ve fyzice.

Máme-li např. dva vektory $\mathbf {A} ,\mathbf {B}$, můžeme z nich vytvořit tenzor druhého řádu, jehož složky budou určeny vztahem $T_{ij}=A_{i}B_{j}$. Tenzorový charakter je možné ověřit na základě transformačních pravidel pro vektory, tzn.

$T_{kl}^{\prime }=A_{k}^{\prime }B_{l}^{\prime }=\left(\sum _{i}a_{ki}A_{i}\right)\left(\sum _{j}a_{lj}B_{j}\right)=\sum _{i,j}a_{ki}a_{lj}A_{i}B_{j}=\sum _{i,j}a_{ki}a_{lj}T_{ij}$

Speciálními případy tenzorů jsou tenzory nultého řádu, které se označují jako skaláry, a tenzory prvního řádu, tedy vektory.