Gradient (matematika)

Ukázka gradientu (modré vektory) pro dvě různá skalární pole (černá představuje vyšší hodnotu skalární funkce).

Gradient na 3D povrchu - červená šipka značí největší růst, modrá pomalejší, na vrcholu je růst i gradient nulový.

Gradient je v obecném smyslu slova směr růstu. Ve formálním jazyce matematiky označuje diferenciální operátor, jehož výsledkem je vektorové pole vyjadřující směr a velikost největší změny skalárního pole. Při formálním zápisu se používá operátor nabla $\nabla$.

V souřadnicovém vyjádření je v daném místě gradientem vektor, jehož složky tvoří jednotlivé parciální derivace funkce vyjadřující dané skalární pole. Pro trojrozměrné pole je gradient:

$\nabla \phi =\mathrm {grad} \,\phi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}$

Přestože je gradient definován v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nezávisí na volbě souřadné soustavy.

Zobecnění pro n-rozměrný prostor lze s pomocí Einsteinova sumačního pravidla vyjádřit ve tvaru

$\nabla f=\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$,

kde $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ jsou souřadnice a $\mathbf {e} _{i}$ jsou bázové vektory.

Operátor gradientu lze aplikovat nejen na skalární funkce, ale také na vektory a tenzory. Aplikace operátoru gradientu na tenzor zvyšuje jeho řád o jedna.

Vlastnosti gradientu

Jsou-li F,G vektorová pole, f,g funkce, a,b reálná čísla, má gradient následující vlastnosti:

Je lineární vůči reálným číslům

$\nabla \left(af+bg\right)=a\nabla f+b\nabla g\,,$

splňuje Leibnizovo pravidlo pro funkce

$\nabla \left(fg\right)=\left(\nabla f\right)g+f\nabla g\,,$

gradient skalárního součinu vektorů splňuje

$\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)=\nabla \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} +\nabla \mathbf {G} \cdot \mathbf {F} ,$

kde $\nabla \mathbf {F}$ chápeme jako matici a výsledek jako sloupcový vektor.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahy udávají vyjádření gradientu v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li funkce f skalární pole v daných souřadnicích a stříškované tučné znaky souřadnic jsou jednotkové vektory báze v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích:

$\nabla {f}={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}.$

Ve sférických souřadnicích:

$\nabla {f}={\partial f \over \partial r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

Používáme-li obecně ortogonální souřadnice x₁,x₂,x₃, jejíž Laméovy koeficienty jsou po řadě h₁,h₂,h₃

$\nabla {f}={\frac {1}{h_{1}}}{\partial f \over \partial x_{1}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\partial f \over \partial x_{2}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\partial f \over \partial x_{3}}{\boldsymbol {\hat {x}}}_{3}.$

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru gradientu platí

$\nabla {f}=f_{;k}{\boldsymbol {\mathrm {d} }}x^{k},\nabla {f}=f_{;i}g^{ik}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}=f^{;k}{\frac {\boldsymbol {\partial }}{{\boldsymbol {\partial }}x^{k}}}$

Zde je potřeba podotknout, že zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou.

Související články

• Operátor
• Parciální derivace
• Nabla