Desítková soustava: Porovnání verzí
Dokončen popis desetinného zápisu a jeho hodnot --~~~~ |
|||
Řádek 9: | Řádek 9: | ||
== Desítkový zápis čísla a výpočet jeho hodnoty == |
== Desítkový zápis čísla a výpočet jeho hodnoty == |
||
* Zápis nuly je <math>0</math>. |
* Zápis nuly je <math>0</math>. |
||
* Každé kladné celé číslo <math>q</math> lze zapsat jako konečnou posloupnost <math>X</math> tvořenou <math>n_X</math> číslicemi <math>x_1 x_2 \ldots x_{n_X}</math>, kde <math>n_X\ge 1</math> je celé číslo a pro každé celé <math>i</math>, kde <math>1\le i\le n_X</math>, je <math>x_i</math> jedna z číslic 0 až 9. Pak platí |
* Každé kladné celé číslo <math>q</math> lze zapsat jako konečnou posloupnost <math>X</math> tvořenou <math>n_X</math> číslicemi <math>x_1 x_2 \ldots x_{n_X}</math>, kde <math>n_X\ge 1</math> je celé číslo a pro každé celé <math>i</math>, kde <math>1\le i\le n_X</math>, je <math>x_i</math> jedna z číslic 0 až 9. Pak platí |
||
Řádek 27: | Řádek 27: | ||
* Posloupnost <math>X</math> je nutno<ref>ISO/IEC Directives, Part 2, 6.6.8.2: If the magnitude (absolute value) of a number less than 1 is written in decimal form, the decimal sign shall be preceded by a zero.</ref> vypsat, i když jde o nulu, např. <math>a=0,\!25</math>. (Dříve se příležitostně v anglofonním světě při zápisu s [[desetinná tečka|desetinnou tečkou]] samotná nula před ní vynechávala.) |
* Posloupnost <math>X</math> je nutno<ref>ISO/IEC Directives, Part 2, 6.6.8.2: If the magnitude (absolute value) of a number less than 1 is written in decimal form, the decimal sign shall be preceded by a zero.</ref> vypsat, i když jde o nulu, např. <math>a=0,\!25</math>. (Dříve se příležitostně v anglofonním světě při zápisu s [[desetinná tečka|desetinnou tečkou]] samotná nula před ní vynechávala.) |
||
* Záporné číslo zapisujeme znamínkem "minus", <math>-</math>, následovaným bez mezery odpovídajícím číslem kladným. |
* Záporné číslo zapisujeme znamínkem "minus", <math>-</math>, následovaným bez mezery odpovídajícím číslem kladným. |
||
Příklady: <math>-100; -0,\!75; -\pi\equiv -3,\!141\,59\dots</math> .<br> |
Příklady: <math>-100; -0,\!75; -\pi\equiv -3,\!141\,59\dots</math> .<br> |
||
Tři tečky "<math>\dots</math>" zde znamenají neúplný zápis čísla, v němž nejsou uvedeny další číslice. |
Tři tečky "<math>\dots</math>" zde znamenají neúplný zápis čísla, v němž nejsou uvedeny další číslice. |
||
=== Zvláštní případy === |
=== Zvláštní případy === |
||
* Kladné číslo racionální <math>r=a/b>0</math>, kde <math>a, b</math> jsou čísla celá, má |
* Kladné číslo racionální <math>r=a/b>0</math>, kde <math>a, b</math> jsou čísla celá, má |
||
-- buď zápis konečný, tj. v zápisu (2) výše je <math>m<\infty</math>, a to právě tehdy, když je <math>a=2^e 5^f</math>, kde <math>e>0, f>0</math> jsou čísla celá,<br> |
-- buď zápis konečný, tj. v zápisu (2) výše je <math>m<\infty</math>, a to právě tehdy, když je <math>a=2^e 5^f</math>, kde <math>e>0, f>0</math> jsou čísla celá,<br> |
||
-- anebo nekonečný, ale periodický ve tvaru |
-- anebo nekonečný, ale periodický ve tvaru |
||
Řádek 51: | Řádek 51: | ||
<math>\qquad\qquad\ = 4,\!2307\overline{692307}= 4,\!2307+\frac{692307}{9999990000} </math> apod.<br> |
<math>\qquad\qquad\ = 4,\!2307\overline{692307}= 4,\!2307+\frac{692307}{9999990000} </math> apod.<br> |
||
* Aritmetická hodnota čísla se nezmění připojením libovolného (i nekonečného) počtu nul za konečný zápis typu <math>r=XdY</math>, tedy <math>r=XdY=XdY0=XdY00=\dots=XdY\overline{0}</math>. Rozdíl však je v případě čísel zaokrouhlených, kde je podstatný počet [[platné číslice|platných číslic]]. |
* Aritmetická hodnota čísla se nezmění připojením libovolného (i nekonečného) počtu nul za konečný zápis typu <math>r=XdY</math>, tedy <math>r=XdY=XdY0=XdY00=\dots=XdY\overline{0}</math>. Rozdíl však je v případě čísel zaokrouhlených, kde je podstatný počet [[platné číslice|platných číslic]]. |
||
* Protože <math>1=0,\!\overline{9}</math>, lze každý zápis s občíslím <math>\overline{9}</math> zapsat bez občíslí tak, že zvětšíme o 1 poslední číslici menší než 9, která stojí před posloupností tvořenou jen číslicí 9, a následující číslice 9 nahradíme 0, jde-li o celou část čísla, resp. vynecháme, jde-li o předčíslí. Pokud by zbylo předčíslí prázdné, vynecháme i desetinnou značku <math>d</math>. |
* Protože <math>1=0,\!\overline{9}</math>, lze každý zápis s občíslím <math>\overline{9}</math> zapsat bez občíslí tak, že zvětšíme o 1 poslední číslici menší než 9, která stojí před posloupností tvořenou jen číslicí 9, a následující číslice 9 nahradíme 0, jde-li o celou část čísla, resp. vynecháme, jde-li o předčíslí. Pokud by zbylo předčíslí prázdné, vynecháme i desetinnou značku <math>d</math>. |
||
Příklady:<br> |
Příklady:<br> |
||
<math>12\,399,\!\overline{9}=12\,400</math><br> |
<math>12\,399,\!\overline{9}=12\,400</math><br> |
||
<math>12\,345,\!6\overline{9}=12\,345,\!7</math><br> |
<math>12\,345,\!6\overline{9}=12\,345,\!7</math><br> |
||
* Analogická pravidla platí pro čísla záporná. Zpracujeme nejprve absolutní hodnotu čísla, pak připojíme znamínko. |
* Analogická pravidla platí pro čísla záporná. Zpracujeme nejprve absolutní hodnotu čísla, pak připojíme znamínko. |
||
<math>-12\,345,\!6\overline{9}=-12\,345,\!7</math><br> |
<math>-12\,345,\!6\overline{9}=-12\,345,\!7</math><br> |
||
=== Zápis a hodnota čísel zaokrouhlených === |
=== Zápis a hodnota čísel zaokrouhlených === |
Verze z 9. 5. 2018, 18:28
Desítková soustava či dekadická soustava je poziční číselná soustava se základem 10. Pro zápis čísla se používají číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Desítková soustava umožňuje přesný zápis libovolného celého čísla; záporná čísla jsou označena na začátku znakem "", "minus". S použitím desetinné značky (typicky desetinné čárky nebo desetinné tečky) lze v desítkové soustavě zapsat libovolné reálné číslo s jakoukoli konečnou přesností.
Použití
Tato číselná soustava je dnes nejužívanější jak v občanském životě, tak ve vědě a technice. V dřívějších dobách se používaly i soustavy s jiným základem, např. dvacítková, šedesátková nebo dvanáctková. Se šedesátkovou soustavou, zavedenou Sumery, se nadále setkáváme při měření času a úhlů. Nově však nachází uplatnění některé jiné soustavy, např. dvojková, osmičková, dvanáctková a šestnáctková, které jsou používány ve výpočetní technice a v informatice.
Historie
Desítková soustava se používá odedávna. Už i egyptská matematika byla založena na desítkové soustavě; egyptština měla k dispozici číslovky až do miliónu.[1] Tato soustava je pravděpodobně odvozena od počítání na deseti prstech rukou.[2][3][4]
Desítkový zápis čísla a výpočet jeho hodnoty
- Zápis nuly je .
- Každé kladné celé číslo lze zapsat jako konečnou posloupnost tvořenou číslicemi , kde je celé číslo a pro každé celé , kde , je jedna z číslic 0 až 9. Pak platí
(1)
Číslo zapsané posloupností má stejnou aritmetickou hodnotu jako číslo zapsané posloupností , apod.. Proto se zpravidla "vedoucí" nuly na začátku čísla nepíšou (tj. , ovšem kromě čísla "nula" samotného, ), až na zvláštní případy, kdy je např. přikázán formát zápisu čísla s daným počtem číslic.
- Každé kladné necelé číslo lze zapsat jako posloupnost tvořenou
-- konečnou posloupností z číslic;
-- desetinnou značkou , což je buď čárka (užita na této stránce), nebo tečka. Podrobnosti viz heslo desetinná značka;
-- konečnou nebo nekonečnou posloupností z číslic.
Posloupnosti , jsou tvořeny analogicky, jak je uvedeno výše, a platí
(2) ;
v druhé sumě může být i .
- Posloupnost je nutno[5] vypsat, i když jde o nulu, např. . (Dříve se příležitostně v anglofonním světě při zápisu s desetinnou tečkou samotná nula před ní vynechávala.)
- Záporné číslo zapisujeme znamínkem "minus", , následovaným bez mezery odpovídajícím číslem kladným.
Příklady: .
Tři tečky "" zde znamenají neúplný zápis čísla, v němž nejsou uvedeny další číslice.
Zvláštní případy
- Kladné číslo racionální , kde jsou čísla celá, má
-- buď zápis konečný, tj. v zápisu (2) výše je , a to právě tehdy, když je , kde jsou čísla celá,
-- anebo nekonečný, ale periodický ve tvaru
, kde jsou konečné posloupnosti číslic analogické dřívější a pruh nad značí opakování celé posloupnosti číslic tvořících . Nazývají se [6]
[7]
předčíslí (předperioda) a občíslí (perioda) , zatímco je celá část čísla . Označíme-li hodnotu čísla a hodnotu celého čísla , pak platí
(3) .
Příklady:
, ale také
apod.
- Aritmetická hodnota čísla se nezmění připojením libovolného (i nekonečného) počtu nul za konečný zápis typu , tedy . Rozdíl však je v případě čísel zaokrouhlených, kde je podstatný počet platných číslic.
- Protože , lze každý zápis s občíslím zapsat bez občíslí tak, že zvětšíme o 1 poslední číslici menší než 9, která stojí před posloupností tvořenou jen číslicí 9, a následující číslice 9 nahradíme 0, jde-li o celou část čísla, resp. vynecháme, jde-li o předčíslí. Pokud by zbylo předčíslí prázdné, vynecháme i desetinnou značku .
Příklady:
- Analogická pravidla platí pro čísla záporná. Zpracujeme nejprve absolutní hodnotu čísla, pak připojíme znamínko.
Zápis a hodnota čísel zaokrouhlených
Aritmetická hodnota čísel a je stejná, tedy . Pokud však jde o numerickou matematiku pracující se zaokrouhlenými čísly a o její aplikace v praxi (např. hodnota změřené fyzikální veličiny), je mezi čísly rozdíl, protože má 5 platných číslic, zatímco jen 3. Bezpečnější zápis v takových případech je a . Celé číslo uvedené za hodnotou v závorce (může mít i více míst) udává nejistotu či chybu čísel a jeho poslední číslice odpovídá poslední číslici předcházejícího čísla. Hodnotou čísla může tedy být libovolné z čísel ležících v intervalu až . Podobně např. hodnotou čísla může být libovolné z čísel ležících v intervalu až . Podrobnosti viz platné číslice.
Názvy velkých čísel
Pojmenování velkých čísel není jednotné. Ve světě jsou používány dvě základní soustavy, což vede často k omylům při překladu do jiných jazyků, u nás zejména při překladu z angličtiny.
- Tzv. krátká soustava (z francouzského échelle courte), též American system[8], označuje slovem bilion číslo, které se rovná tisíci milionům (109) a další pojmenování následují vždy po tisícinásobku. Tedy trilion je tisíc bilionů (1012), kvadrilion je tisíc trilionů (1015) atd. Tato soustava nezná slovo miliarda. Krátká soustava je užívána ve Spojených státech a zhruba od sedmdesátých let 20. století také ve většině anglicky mluvících zemí (Velká Británie, Austrálie, Kanada s výjimkou frankofonních částí, Irsko atd.)
- V kontinentální Evropě, a tedy i v České republice je zpravidla užívána tzv. dlouhá soustava (échelle longue), v níž pro tisíc milionů (109) je užíván termín miliarda, bilion má význam milionu milionů (1012) a trilion je milion bilionů (1018). Pro tisíc bilionů (1015) je někdy užíváno slovo biliarda.
Kombinaci obou systémů užívají země bývalého Sovětského svazu a Turecko. Zde existuje termín miliarda ve smyslu dlouhé soustavy (109), ale pojmenování vyšších čísel se řídí soustavou krátkou.
Ve vědě a technice jsou používány předpony dle soustavy SI (kilo, Mega atd.) označující násobky základních jednotek fyzikálních a technických veličin. Předpony dle soustavy SI jsou používány jednotně v celém světě a nedochází u nich k omylům.
Princip, jakým jsou tvořena jména velkých čísel, udává následující tabulka (americké názvy pro N=109 až 1063, 10303, britský 10600 podle[8]):
Hodnota | Název v krátké soustavě | Název v dlouhé soustavě | Předpona |
---|---|---|---|
10−24 | septiliontina | kvadriliontina | yokto |
10−21 | sextiliontina | triliardtina | zepto |
10−18 | kvintiliontina | triliontina | atto |
10−15 | kvadriliontina | biliardtina | femto |
10−12 | triliontina | biliontina | piko |
10−9 | biliontina | miliardtina | nano |
10−6 | miliontina | miliontina | mikro |
10−3 | tisícina | tisícina | mili |
10−2 | setina | setina | centi |
10−1 | desetina | desetina | deci |
100 | jednotka | jednotka | - |
101 | deset | deset | deka |
102 | sto | sto | hekto |
103 | tisíc | tisíc | kilo |
106 | milion | milion | mega |
109 | billion[8] | miliarda | giga |
1012 | trillion[8] | bilion | tera |
1015 | quadrillion[8] | biliarda | peta |
1018 | quintillion[8] | trilion | exa |
1021 | sextillion[8] | triliarda | zetta |
1024 | septillion[8] | kvadrilion | yotta |
1027 | octillion[8] | kvadriliarda | - |
1030 | nonillion[8] | kvintilion | - |
1033 | decillion[8] | kvintiliarda | - |
1036 | undecillion[8] | sextilion | - |
1039 | duodecillion[8] | sextiliarda | - |
1042 | tredecillion[8] | septilion | - |
1045 | quattuordecillion[8] | septiliarda | - |
1048 | quindecillion[8] | oktilion | - |
1051 | sexdecillion[8] | oktiliarda | - |
1054 | septendecillion[8] | nonilion | - |
1057 | octodecillion[8] | noniliarda | - |
1060 | novemdecillion[8] | decilion | - |
1063 | vigintillion[8] | deciliarda | - |
1066 | unvigintilion | undecilion | - |
1069 | duovigintilion | undeciliarda | - |
1072 | tresvigintillion | bidecilion | - |
1075 | quattuorvigintillion | bideciliarda | - |
1078 | kvinvigintilion | tridecilion | - |
1081 | sesvigintilion | trideciliarda | - |
1084 | septemvigintilion | kvadrodecilion | - |
1087 | oktovigintilion | kvadrodeciliarda | - |
1090 | novemvigintilion | kvintdecilion | - |
1093 | trigintilion | kvintdeciliarda | - |
1096 | untrigintilion | sexdecilion | - |
1099 | duotrigintilion | sexdeciliarda | - |
10100 | googol | googol | |
10303 | centillion[8] | ||
10600 | centillion[8] |
Srovnání číselných soustav
Číslo v desítkové soustavě | Dvojková soustava | Trojková soustava | Čtyřková soustava | Pětková soustava | Šestková soustava | Sedmičková soustava | Osmičková soustava | Devítková soustava | Dvanáctková soustava | Šestnáctková soustava | Dvacítková soustava | Šestatřicítková soustava |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 10 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
3 | 11 | 10 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
4 | 100 | 11 | 10 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 |
5 | 101 | 12 | 11 | 10 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
6 | 110 | 20 | 12 | 11 | 10 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
7 | 111 | 21 | 13 | 12 | 11 | 10 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 22 | 20 | 13 | 12 | 11 | 10 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 |
9 | 1001 | 100 | 21 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 9 | 9 | 9 |
10 | 1010 | 101 | 22 | 20 | 14 | 13 | 12 | 11 | A | A | A | A |
100 | 1100 100 | 102 01 | 1 210 | 400 | 244 | 202 | 144 | 121 | 84 | 64 | 50 | 2S |
1000 | 1111 1010 00 | 110 100 1 | 332 20 | 13 000 | 4 344 | 2 626 | 1 750 | 1 331 | 6B4 | 3E8 | 2A0 | RS |
Odkazy
Reference
- ↑ Český rozhlas 2, pořad Meteor, 23. října 2010
- ↑ http://www.prevod.cz/popis.php?str=564&parent=y
- ↑ http://praha.astro.cz/crp/0001a.phtml
- ↑ http://cygnus.speccy.cz/ostatni_historie.php
- ↑ ISO/IEC Directives, Part 2, 6.6.8.2: If the magnitude (absolute value) of a number less than 1 is written in decimal form, the decimal sign shall be preceded by a zero.
- ↑ TEYSSLER-KOTYŠKA. Technický slovník naučný, díl IX. Praha: Borský a Šulc, 1933. 1091 s. Kapitola Občíslí, s. 177.
- ↑ http://ssjc.ujc.cas.cz/search.php?hledej=Hledat&heslo=ob%C4%8D%C3%ADsl%C3%AD&sti=EMPTY&where=hesla&hsubstr=no
- ↑ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w Webster's Third New International Dictionary, unabridged. Bonnerstr. 126, D-50968, Köln: Könemann Verlagsgesellschaft, mbH, 1961. 2663 s. ISBN 3-8290-5292-8. S. 1549.
Související články
Externí odkazy
- Obrázky, zvuky či videa k tématu desítková soustava na Wikimedia Commons
- Výukový kurs Číselné soustavy/Desítková soustava ve Wikiverzitě