Kruhová úseč: Porovnání verzí

Interaktivně procházet historii

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

VizuálníWikitext

V textu

Verze z 14. 12. 2017, 14:43

Kruhová úseč je část kruhu vymezená tětivou a kruhovým obloukem vzniklá rozdělením kruhu sečnou.

Každá úseč je příslušná středovému úhlu α, který může být konvexní (0° < α < 180°), konkávní (180° < α < 360°), nebo přímý (α = 180°; polokruh).

Obvod úseče, poloměr, tětiva a výška

Použité značení:

r - poloměr kruhu
α - středový úhel, $\alpha =2\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)$ ; $\alpha =4\ \mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\biggr )}$ ; $\alpha =2\ \arcsin {\biggl (}{\frac {4hs}{s^{2}+4h^{2}}}{\biggr )}$ ; $\alpha =2\,\mathrm {arctg} {\Biggl (}{\frac {(s/2)}{{\bigl (}{\frac {s^{2}}{8h}}-{\frac {h}{2}}{\bigr )}}}{\Biggr )}$ ; $\alpha =2\,\mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {4sh}{s^{2}-4h^{2}}}{\biggr )}$
s - délka tětivy, $s=2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ ; $s=2r{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos(\alpha )}}$
h - výška oblouku, $h=r{\biggl (}1-\cos {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}{\biggr )}$ ; $h=r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-s^{2}}}$ ; $r^{2}=(s/2)^{2}+(r-h)^{2}$
$r={\frac {s^{2}}{8h}}+h/2$ ; $r={\frac {(s/2)^{2}+h^{2}}{2h}}$ ; $r={\frac {(s/2)}{\mathrm {sin} {\biggl (}2\,\mathrm {arctg} {\Bigl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\Bigr )}{\biggr )}}}$ ; $r={\frac {s}{2\,\mathrm {sin} {\Bigl (}2\,\mathrm {arctg} {\bigl (}{\frac {s}{2h}}{\bigr )}{\Bigr )}}}$
$s=2h\surd ({\frac {2r}{h}}-1)$ ; $s=2\surd (2rh-h^{2})$ ; $s=2\,\tan {\biggl (}{\frac {\alpha }{2}}{\biggr )}\cdot {\biggl (}{\frac {b}{\mathrm {arc} \ \alpha }}-h{\biggr )}$ ; $b=\arcsin {\Biggl (}{\frac {s}{h+{\tfrac {s}{4h}}}}{\Biggr )}\cdot {\biggl (}h+{\frac {s^{2}}{4h}}{\biggr )}$
$h=r-r\surd (1-(s/2r)^{2})$

b - délka oblouku: $b=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r$ (arc=úhel v radiánech); $b=2r\arcsin {\biggl (}{\frac {s}{2r}}{\biggr )}\cdot {\frac {\pi }{180}}$ (pro nastavení kalkulačky na stupně); $b=4{\biggl (}{\frac {s^{2}}{8h}}+h/2{\biggr )}\cdot \,\mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\biggr )}\cdot {\frac {\pi }{180}}$ (pro nastavení kalkulačky na stupně)

Obvod kruhové úseče:

$o=b+s$
$o=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r+s$ (arc = ;úhel v radiánech)
$o=2r\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)+s$
$o=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ (arc = úhel v radiánech)
$o=2r\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)\cdot {\frac {\pi }{180}}+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ (pro nastavení kalkulačky na stupně)

V případě, že je úhel α konvexní (0 < α < π), je obsah úseče roven obsahu výseče ( $S_{V}={\tfrac {\alpha r^{2}}{2}}$ ) bez obsahu rovnoramenného trojúhelníka ( $S_{T}=r^{2}\sin \!{\tfrac {\alpha }{2}}\cos \!{\tfrac {\alpha }{2}}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha$ ; kladné číslo).

S=S_{V}-S_{T}={\frac {r^{2}}{2}}\left(\alpha -\sin \alpha \right)

V případě, že je úhel $\alpha$ konkávní (π < α < 2π), je obsah úseče roven obsahu výseče a obsahu rovnoramenného trojúhelníka. Pro konkávní středový úhel ovšem vyjde obsah trojúhelníka ( $S_{T}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha$ ) záporný, takže pro celkový obsah úseče opět platí předchozí vzorec:

S={\frac {r^{2}}{2}}\left(\alpha -\sin \alpha \right)

Známe-li výšku úseče $h$ a poloměr:

S=r^{2}\arccos \!\left({\frac {r-h}{r}}\right)-(r-h){\sqrt {2hr-h^{2}}}

V reálné praxi je úseč často určena šířkou $s$ (délka tětivy) a výškou $h$ . Pro obsah pak platí

S={\frac {1}{64h^{2}}}\left(\left(s^{2}+4h^{2}\right)^{2}\arccos {\frac {s^{2}-4h^{2}}{s^{2}+4h^{2}}}-4sh\left(s^{2}-4h^{2}\right)\right)

Literatura

Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 30

Související články

Externí odkazy

(anglicky) Kalkulátor všech parametrů úseče (z libovodlných dvou hodnot)

@@ Řádek 15: / Řádek 15: @@
 * h - výška oblouku, <math>h=r\biggl(1-\cos\Bigl(\frac{\alpha }{2}\Bigr)\biggr) </math>;  <math>h=r-\frac{1}{2}\sqrt{4r^2-s^2}</math> ;  <math> r^2 = (s/2)^2 + (r-h)^2 </math>
 * <math> r = \frac{s^2}{8h} + h/2 </math>;  <math>r=\frac{(s/2)^2+h^2}{2h}</math>;  <math>r=\frac{(s/2)}{\mathrm{sin}\biggl(2\, \mathrm{arctg}\Bigl(\frac{h}{(s/2)}\Bigr)\biggr)}  </math>;   <math>r=\frac{s}{2\, \mathrm{sin}\Bigl(2\, \mathrm{arctg}\bigl(\frac{s}{2h}\bigr)\Bigr)} </math>
-* <math> s = 2h\surd(\frac{2r}{h} - 1) </math>; <math> s = 2\surd(2rh - h^2) </math>; <math>s=2\, \tan\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)\cdot\biggl(\frac{b}{\mathrm{arc}\ \alpha }-h\biggr)   </math>
+* <math> s = 2h\surd(\frac{2r}{h} - 1) </math>; <math> s = 2\surd(2rh - h^2) </math>; <math>s=2\, \tan\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggr)\cdot\biggl(\frac{b}{\mathrm{arc}\ \alpha }-h\biggr)   </math>;  <math>b=\arcsin\Biggl(\frac{s}{h+\tfrac{s}{4h}}\Biggr)\cdot\biggl(h+\frac{s^2}{4h}\biggr)</math>
 * <math> h = r - r\surd(1 - (s/2r)^2) </math>
@@ Řádek 22: / Řádek 22: @@
 Obvod kruhové úseče:
 * <math> o = b + s </math>
-* <math> o = \mathrm{arc}\, \alpha\cdot r + s </math> (arc=úhel v [[radián]]ech)
+* <math> o = \mathrm{arc}\, \alpha\cdot r + s </math> (arc = ;úhel v [[radián]]ech)
 * <math> o = 2 r \arcsin \! \left( \frac{s}{2r} \right) + s</math>
-* <math> o = \mathrm{arc}\, \alpha\cdot r + 2 r \sin \! \left( \frac{\alpha}{2} \right) </math> (arc=úhel v radiánech)
+* <math> o = \mathrm{arc}\, \alpha\cdot r + 2 r \sin \! \left( \frac{\alpha}{2} \right) </math> (arc = úhel v radiánech)
 * <math> o = 2 r \arcsin \! \left( \frac{s}{2r} \right)\cdot\frac{\pi}{180} + 2 r \sin \! \left( \frac{\alpha}{2} \right) </math> (pro nastavení kalkulačky na stupně)