Komplexní analýza

Graf funkce f(x) = (x² − 1)(x − 2 − i)² / (x² + 2 + 2i). Barva reprezentuje argument funkce, a jas reprezentuje magnitudu (velikost).

Komplexní analýza, tradičně známá jako teorie funkcí komplexní proměnné, je obor matematické analýzy, který zkoumá funkce komplexních čísel. Je užitečná v mnoha odvětvích matematiky, včetně oborů jako algebraická geometrie, teorie čísel, aplikovaná matematika; ale i ve fyzice, např. v oborech jako hydrodynamika, termodynamika, mechanické inženýrství a elektrotechnika.

Murray R. Spiegel napsal, že komplexní analýza je „jeden z nejhezčích a nejužitečnějších oborů matematiky“.

Komplexní analýza se nejvíc zabývá analytickými funkcemi komplexních proměnných (nebo obecněji meromorfními funkcemi). Protože separátní reálná a imaginární části každé analytické funkce musí splňovat Laplaceovu rovnici, komplexní analýza je široko aplikovatelná na dvoudimenzionální problémy ve fyzice.

Historie

Mandelbrotova množina, fraktál.

Komplexní analýza je jeden z komplexních oborů matematiky s kořeny v 19. století i dříve. Zabývali se jí známí matematici jako Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass a mnoho dalších v 20. století. Komplexní analýza, zejména teorie konformních zobrazení má mnoho fyzikálních aplikací a používá se i v analytické teorii čísel. V současnosti se stala velmi populární díky novým podnětům z komplexní dynamiky a díky obrázkům fraktálů produkovaných iterací holomorfních funkcí. Další důležitá aplikace komplexní analýzy je v teorii strun, která studuje konformní invarianty v kvantové teorii pole.

Komplexní funkce

Komplexní funkce je funkce, kde nezávislá proměnná i závislá proměnná jsou obě komplexní čísla. Přesněji, komplexní funkce je funkce, u které definiční obor i obor hodnot jsou podmnožiny komplexní roviny.

Pro každou komplexní funkci nezávislá proměnná i závislá proměnná mohou být separovány na reálnou a imaginární části:

$z=x+iy\,$ a

$w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\,$

kde $x,y\in \mathbb {R} \,$ a $u(x,y),v(x,y)\,$ jsou funkce s reálnými hodnotami.

Jinými slovy, složky funkce f(z),

$u=u(x,y)\,$ a

$v=v(x,y),\,$

lze interpretovat jako reálné funkce dvou reálných proměnných, x a y.

Základní koncepty komplexní analýzy se často představují rozšířením elementárních funkcí reálné proměnné (např. exponenciální funkce, logaritmická funkce a trigonometrická funkce) do komplexní domény.

Holomorfní funkce

Holomorfní funkce jsou komplexní funkce definované na otevřené podmnožině komplexní roviny, které jsou diferencovatelné. Komplexní diferencovatelnost má mnohem větší důsledky jako obvyklá (reálná) diferencovatelnost.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Complex analysis na anglické Wikipedii.