Střední hodnota: Porovnání verzí
→Vlastnosti: typo |
|||
Řádek 28: | Řádek 28: | ||
Pro [[nezávislé jevy|nezávislé náhodné veličiny]] <math>X, Y</math> je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn. |
Pro [[nezávislé jevy|nezávislé náhodné veličiny]] <math>X, Y</math> je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn. |
||
:<math>\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)</math> |
:<math>\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)</math> |
||
Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin |
Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin. |
||
== Příklady == |
== Příklady == |
Verze z 19. 1. 2017, 17:25
Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.
Střední hodnota náhodné veličiny se značí , nebo také .
Definice
Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu
- ,
kde je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny . Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.
Speciálně:
- Má-li náhodná veličina spojité rozdělení s hustotou rozdělení , pak
- .
- Má-li náhodná veličina diskrétní rozdělení kde pro nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak
Vlastnosti
Střední hodnota konstanty je
Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny a konstanty platí
Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy
Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.
Pro nezávislé náhodné veličiny je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.
Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin.
Příklady
Diskrétní náhodná veličina
Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.
Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.
Spojitá náhodná veličina
Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.