Deformace: Porovnání verzí
tenzor deformace |
|||
Řádek 5: | Řádek 5: | ||
Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho '''deformace''', mluvíme o [[tuhé těleso|tuhém tělesu]]. |
Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho '''deformace''', mluvíme o [[tuhé těleso|tuhém tělesu]]. |
||
==Deformace v mechanice kontinua== |
|||
⚫ | |||
V [[mechanika kontinua|mechanice kontinua]] lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu [[kontinuum|kontinua]]. |
|||
V [[čas]]e <math>t=0</math> můžeme popsat polohu částic kontinua jako <math>y_j=y_j(x_i,0)=x_j</math>. V čase <math>\Delta t</math> pak bude poloha odpovídajících částic určena jako <math>y_j=y_j(x_i,\Delta t)</math>. Lze definovat '''[[vektor]] posunutí''' <math>u_i</math> jako |
|||
:<math>u_i=y_i-x_i</math> |
|||
Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako |
|||
:<math>y_j=x_j + u_j(x_i)</math> |
|||
Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také [[posunutí]] a [[rotace|otáčení]] kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám [[vzdálenost]]í částic kontinua. |
|||
Uvažujeme-li libovolný bod <math>x_j</math> kontinua a v jeho okolí bod <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math>, pak na konci deformačního pohybu se bod z <math>x_j</math> přesune do bodu <math>y_j</math> a bod <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math> do bodu <math>y_j+\mathrm{d}y_j</math>. Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu <math>x_j</math> jako <math>u_j</math> a vektor posunutí odpovídající bodu <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math> jako <math>u_j+\mathrm{d}u_j</math>, a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu <math>x_j</math>, můžeme použít zápis |
|||
:<math>\mathrm{d}y_j = \mathrm{d}x_j + \mathrm{d}u_j = \mathrm{d}x_j + \left(\frac{\mathrm{d}u_j}{\mathrm{d}x_i}\right)\mathrm{d}x_i</math> |
|||
Na počátku děje je vzdálenost mezi body <math>x_j</math> a <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math> určena jako <math>\mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j</math>. Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech <math>x_j</math> a <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math> určena jako <math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j</math> (kde bylo použito [[Einsteinovo sumační pravidlo]]). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou <math>x_j</math> a konečné <math>y_j</math>, se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz |
|||
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j</math> |
|||
Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme |
|||
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2\varepsilon_{lk}\mathrm{d}x_l\mathrm{d}x_k</math> |
|||
kde byl zaveden tzv. '''tenzor velkých deformací''' |
|||
:<math>\varepsilon_{lk} = \frac{1}{2}\left[\frac{\part u_k}{\part x_l} + \frac{\part u_l}{\part x_k} + \left(\frac{\part u_j}{\part x_l}\right)\left(\frac{\part u_j}{\part x_k}\right)\right]</math> |
|||
Tenzor velkých deformací je [[funkce (matematika)|funkcí]] [[souřadnice|souřadnic]], tzn. <math>\varepsilon_{lk}=\varepsilon_{lk}(x_i)</math>, a je to [[symetrický tenzor]] druhého řádu. |
|||
===Tenzor malých deformací=== |
|||
Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí <math>u_i</math> se souřadnicemi <math>x_j</math>, tzn. jsou malé také [[parciální derivace]] <math>\frac{\part u_i}{\part x_j}</math>. V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen <math>\left(\frac{\part u_j}{\part x_l}\right)\left(\frac{\part u_j}{\part x_k}\right)</math> malý ve srovnání s členy <math>\frac{\part u_k}{\part x_l}</math> a <math>\frac{\part u_l}{\part x_k}</math> a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. '''tenzorem malých deformací''' |
|||
:<math>e_{lk} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part u_k}{\part x_l} + \frac{\part u_l}{\part x_k}\right)</math> |
|||
Pro malé deformace lze tedy platí |
|||
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j-\mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2e_{lk}\mathrm{d}x_l\mathrm{d}x_k \,</math> |
|||
Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem |
|||
:<math>\overline{e}_{lk} = \frac{1}{2}\left(\frac{\part u_k}{\part y_l} + \frac{\part u_l}{\part y_k}\right)</math> |
|||
a platí |
|||
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2\overline{e}_{lk}\mathrm{d}y_l\mathrm{d}y_k</math> |
|||
Pro malé deformace jsou velikosti posunů <math>\mathrm{d}x_i</math> v nedeformovaném stavu a jim odpovídající <math>\mathrm{d}y_j</math> v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací <math>e_{ij}</math> a <math>\overline{e}_{ij}</math> můžeme považovat za ekvivalentní. |
|||
⚫ | |||
* [[Rotace]] |
* [[Rotace]] |
||
* [[Posuvný pohyb|Translace]] |
* [[Posuvný pohyb|Translace]] |
||
* [[Topologická deformace]] |
* [[Topologická deformace]] |
||
* [[Saint-Venantova rovnice]] |
|||
* [[Rychlost deformace]] |
|||
[[Kategorie:Mechanika]] |
[[Kategorie:Mechanika]] |
||
Řádek 18: | Řádek 59: | ||
[[fr:Déformation des matériaux]] |
[[fr:Déformation des matériaux]] |
||
[[sv:Deformation]] |
[[sv:Deformation]] |
||
Pozor, pojem deformace není zcela postačující, je nutno dále rozlišit posunutí a přetvoření (např. u vetknutého nosníku zatíženého na volném konci osamělou silou je největší posunutí na volném konci - průhyb, úhel natočení, ale největší přetvoření je u místa vetknutí). |
Verze z 29. 3. 2007, 17:15
Pojmem deformace tělesa rozumíme změnu jeho tvaru. Těleso mění tvar v důsledku působení síly. Silové působení mění vzájemné polohy atomů, ze kterých se těleso skládá. V případě, že se po odstranění působící síly těleso vrátí do původního tvaru, mluvíme o pružné deformaci, neboli elastické deformaci. V důsledku působení sil může rovněž dojít k nevratným změnám v poloze atomů tělesa. Tvar tělesa se po odeznění působení síly již nevrátí do původního stavu. V takovém případě mluvíme o nepružné deformaci popř. úžeji o plastické deformaci.
Síly působící na těleso lze rozlišovat podle druhu napětí, které v tělese vyvolávají na tahové, tlakové, smykové, ohybové nebo torzní.
Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho deformace, mluvíme o tuhém tělesu.
Deformace v mechanice kontinua
V mechanice kontinua lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu kontinua.
V čase můžeme popsat polohu částic kontinua jako . V čase pak bude poloha odpovídajících částic určena jako . Lze definovat vektor posunutí jako
Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako
Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také posunutí a otáčení kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám vzdáleností částic kontinua.
Uvažujeme-li libovolný bod kontinua a v jeho okolí bod , pak na konci deformačního pohybu se bod z přesune do bodu a bod do bodu . Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu jako a vektor posunutí odpovídající bodu jako , a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu , můžeme použít zápis
Na počátku děje je vzdálenost mezi body a určena jako . Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech a určena jako (kde bylo použito Einsteinovo sumační pravidlo). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou a konečné , se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz
Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme
kde byl zaveden tzv. tenzor velkých deformací
Tenzor velkých deformací je funkcí souřadnic, tzn. , a je to symetrický tenzor druhého řádu.
Tenzor malých deformací
Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí se souřadnicemi , tzn. jsou malé také parciální derivace . V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen malý ve srovnání s členy a a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. tenzorem malých deformací
Pro malé deformace lze tedy platí
Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem
a platí
Pro malé deformace jsou velikosti posunů v nedeformovaném stavu a jim odpovídající v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací a můžeme považovat za ekvivalentní.