Kruhová úseč

Kruhová úseč a výseč

Kruhová úseč. Značení:
M – střed kružnice,
r – poloměr kružnice,
AB – tětiva,
s – délka tětivy,
h – výška úseče,
α – středový úhel,
b – délka oblouku,
A – obsah úseče

Kruhová úseč je část kruhu vymezená tětivou a kruhovým obloukem vzniklá rozdělením kruhu sečnou.

Každá úseč je příslušná středovému úhlu α, který může být konvexní (0° < α < 180°), konkávní (180° < α < 360°) nebo přímý (α = 180°; polokruh).

Obvod úseče

Použité značení:

• r — poloměr kruhu
• α — středový úhel, $\alpha =2\arcsin \!\left({\frac {l}{2r}}\right)$
• l — délka tětivy, $l=2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$

Obvod:

• délka oblouku a délka tětivy: $o=\alpha r+l$ (úhel v radiánech)
• ze znalosti úhlu a poloměru: $o=\alpha r+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)$
• ze znalosti délky tětivy a poloměru: $o=2r\arcsin \!\left({\frac {l}{2r}}\right)+l$

Obsah úseče

V případě, že je úhel α konvexní (0 < α < π), je obsah úseče roven obsahu výseče ($S_{V}={\tfrac {\alpha r^{2}}{2}}$) bez obsahu rovnoramenného trojúhelníka ($S_{T}=r^{2}\sin \!{\tfrac {\alpha }{2}}\cos \!{\tfrac {\alpha }{2}}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha$; kladné číslo).

$S=S_{V}-S_{T}={\frac {r^{2}}{2}}\left(\alpha -\sin \alpha \right)$

V případě, že je úhel $\alpha$ konkávní (π < α < 2π), je obsah úseče roven obsahu výseče a obsahu rovnoramenného trojúhelníka. Pro konkávní středový úhel ovšem vyjde obsah trojúhelníka ($S_{T}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha$) záporný, takže pro celkový obsah úseče opět platí předchozí vzorec:

$S={\frac {r^{2}}{2}}\left(\alpha -\sin \alpha \right)$

Známe-li výšku úseče $h$ a poloměr:

$S=r^{2}\arccos \!\left({\frac {r-h}{r}}\right)-(r-h){\sqrt {2hr-h^{2}}}$

Literatura

• Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 30

Související články

• Kruhová výseč
• Kruhový oblouk
• Tětiva (geometrie)
• Kulová úseč

Externí odkazy

• (anglicky) Kalkulátor všech parametrů úseče (z libovodlných dvou hodnot)

Portály: Matematika