Těleso (algebra): Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 6. 9. 2015, 22:20

Těleso (angl. division ring) je algebraická struktura, na které jsou definovány dvě binární operace. Je rozšířením okruhu, oproti kterému navíc přináší existenci inverzního prvku pro obě binární operace (okruh vyžadoval existenci inverzního prvku jen pro operaci +).

Pole (Komutativní těleso, angl. field) je takové těleso, jehož obě operace jsou komutativní. V tělese (okruhu) se předpokládá komutativita pouze sčítání.^[1]

Definice tělesa

Trojici $({\mathcal {F}},+,\cdot )$ , kde ${\mathcal {F}}$ je množina a + (sčítání) a $\cdot$ (násobení) jsou binární operace, nazveme tělesem, je-li $({\mathcal {F}},+,\cdot )$ okruh a platí-li navíc

pro každé $x\in {\mathcal {F}}\setminus \{0\}$ existuje $y\in {\mathcal {F}}$ tak , že $x\cdot y=y\cdot x=1$ , což značíme $y=x^{-1}$ .

Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina F s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:

sčítání, přičemž (F,+,-,0) je Abelova grupa (+ je komutativní),
násobení, přičemž $(F\setminus \{0\},\cdot ,^{-1},1)$ je grupa,

a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.

a(b+c)=ab+ac

(b+c)a=ba+ca

V komutativním tělese navíc požadujeme, aby i multiplikativní grupa byla komutativní, tj. $ab=ba$ .

Nadtěleso tělesa ${\mathcal {F}}$ je takové těleso, že ${\mathcal {F}}$ je jeho podmnožinou.

Příklady těles

Množina racionálních čísel $\mathbb {Q}$
Množina reálných čísel $\mathbb {R}$ a její největší algebraické komutativní nadtěleso, množina komplexních čísel 606161904 $\mathbb {C}$
Kvaterniony, nekomutativní těleso, největší algebraické nadtěleso množiny reálných čísel $\mathbb {R}$
Těleso (reálných) racionálních funkcí $\mathbb {R} (x)$
Množina zbytkových tříd $\mathbb {Z} _{p}$ pro každé prvočíslo $p$ .
Galoisova tělesa $\operatorname {GF} (p^{n})$

Související články

Archimédovské těleso (algebra)

Externí odkazy

Reference

↑ ŠLAPAL Josef, SOA - Obecná algebra, Základy obecné algebry včetně příkladů k procvičování

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

[1] ŠLAPAL Josef, SOA - Obecná algebra, Základy obecné algebry včetně příkladů k procvičování

[1]

@@ Řádek 6: / Řádek 6: @@
 == Definice tělesa ==
+Trojici <math>(\mathcal{F},+,\cdot)</math>, kde <math>\mathcal{F}</math> je [[množina]] a + ([[sčítání]]) a <math>\cdot</math> ([[násobení]]) jsou [[binární operace]], nazveme '''tělesem''', je-li <math>(\mathcal{F}, +, \cdot)</math> [[okruh (algebra)|okruh]] a platí-li navíc
-Tydýýýýýýýýýýýýýýýýýýýt
+* pro každé <math>x \in \mathcal{F} \setminus \{ 0 \}</math> existuje <math>y \in \mathcal{F}</math> tak , že <math>x \cdot y = y \cdot x = 1</math>, což značíme <math>y = x^{-1}
+</math>.
+Alternativní definice tělesa zní následovně: těleso je množina ''F'' s aspoň dvěma prvky 0,1 a s následujícími operacemi:
+* sčítání, přičemž (''F'',+,-,0) je [[Abelova grupa]] (+ je [[Komutativita|komutativní]]),
+* násobení, přičemž <math>(F\setminus\{0\},\cdot,^{-1},1)</math> je [[grupa]],
+a navíc platí distributivní zákony mezi sčítáním a násobením, tj.
+:<math>a(b+c) = ab + ac</math>
+:<math>(b+c)a = ba + ca</math>
+V komutativním tělese navíc požadujeme, aby i multiplikativní grupa byla komutativní, tj. <math> ab = ba </math>.
+'''Nadtěleso''' tělesa <math>\mathcal{F}</math> je takové těleso, že <math>\mathcal{F}</math> je jeho [[podmnožina|podmnožinou]].
 == Příklady těles ==