Lineární uspořádání: Porovnání verzí

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Smazaný obsah Přidaný obsah
→‎Definice: Antireflexivita platí pro ostré uspořádání, u lineárního vyžadována není
m narovnání přesměrování
Řádek 24: Řádek 24:
* [[Ostré uspořádání]]
* [[Ostré uspořádání]]
* [[Binární relace]]
* [[Binární relace]]
* [[Dobré uspořádání]]
* [[Dobře uspořádaná množina|Dobré uspořádání]]
* [[Husté uspořádání]]
* [[Husté uspořádání]]



Verze z 17. 2. 2014, 18:07

Lineární uspořádání (někdy také úplné uspořádání) je pojem z teorie uspořádání, který formálně zachycuje intuitivní představu o prvcích množiny, které jsou seřazeny „jeden za druhým“. To mimo jiné znamená, že každé dva prvky lineárně uspořádané množiny jsou porovnatelné.

Definice

Řekneme, že uspořádání (ať již ostré nebo neostré) je lineární, pokud se (kromě ostatních vlastností požadovaných definicí uspořádání) jedná o trichotomickou relaci.

Rozepišme si podrobněji, co všechno musí být splněno, na příkladu ostrého lineárního uspořádání (pro neostré lineární uspořádání musí být antireflexivita nahrazena reflexivitou):

Předpokládejme, že máme relaci na množině , a jsou nějaké její libovolné prvky. Abychom mohli prohlásit tuto relaci za lineární uspořádání množiny , musí být splněny tyto podmínky:

  1. tranzitivita:
  2. (slabá) antisymetrie:
  3. trichotomie:

Příklady

Relace je lineární uspořádání na množině přirozených čísel i reálných čísel.


Relace „číslo a je násobek čísla b“ není neostré lineární uspořádání celých kladných čísel - sice je tranzitivní a reflexivní, ale není trichotomická (není pravda ani „2 je násobek 3“, ani „3 je násobek 2“, ani „2 = 3“).


Uvažujme o pětiprvkové množině X = {a,b,c,d,e} a relaci R = {[a,c],[a,d],[a,e],[b,c],[b,d],[c,d]}. Tato relace je tranzitivní, antireflexivní i antisymetrická. Není však trichotomická, protože například d a e jsou dva různé neporovnatelné prvky.

Související články