Nyquistův–Shannonův vzorkovací teorém: Porovnání verzí
Bez shrnutí editace |
|||
| Řádek 1: | Řádek 1: | ||
Vayeni kantori, pred tim, nez skopirujete celi text z wikipedie pro sve studenty, yredukujte pocet slov a informaci. Studenti jsou nasrani.... |
|||
'''Shannonův teorém''' ('''Nyquistův teorém''', '''Kotělnikovův teorém''', '''Nyquistův-Shannonův teorém''', '''Shannonův-Nyquistův-Kotělnikovův teorém''', apod.) |
|||
''„Přesná rekonstrukce spojitého, frekvenčně omezeného, signálu z jeho vzorků je možná tehdy, pokud byla vzorkovací frekvence vyšší než dvojnásobek nejvyšší harmonické složky vzorkovaného signálu.“'' |
|||
== Shannonův teorém a vzorkovací frekvence v praxi == |
|||
V praxi se tedy vzorkovací [[frekvence]] volí dvakrát větší plus ještě malá rezerva než je maximální požadovaná přenášená frekvence. V [[telekomunikace|telekomunikacích]] je to např. 8 [[Hertz|kHz]] neboť je třeba přenášet pouze signály ve standardním telefonním pásmu (od 0,3 do 3,4 kHz zaokrouhleno směrem nahoru 4 kHz). Například u záznamu na [[Kompaktní disk|CD]] je to 44,1 kHz neboť průměrné zdravé lidské [[ucho]] slyší maximálně cca do 20 kHz a tudíž vzorkovací frekvence 44,1 kHz byla zvolena s určitou rezervou. |
|||
Shannonův teorém lze vyjádřit vztahem : tv≤1/2fmax [s]; Tv je interval mezi dvěma vzorky,fmax je maximální frekvence signálu. |
|||
V případě použití nižší vzorkovací frekvence může dojít k tzv. [[aliasing]]u, kdy rekonstruovaný signál je výrazně odlišný od původního vzorkovaného signálu. |
|||
== Shannonův teorém pro vzorkování obrazu == |
|||
<!-- |
|||
Na této stránce je uveden Shannonův teorém pro vzorkování obrazu. |
|||
--> |
|||
Nechť ''f(x,y)'' je spojitá funkce obrazu. [[Vzorkování|Vzorkováním]] funkce ''f(x,y)'' rozumíme reprezentaci této funkce pomocí matice (označme ji ''d(x,y)''). |
|||
Dále definujme '''[[konvoluce|konvoluci]]''' dvou funkcí ''f(x)'',''g(x)''∈''L<sub>1</sub>'' jako |
|||
:<math>f(x)*g(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)g(x-t)dt</math> |
|||
Označme ''F(u,v)'' jako [[Fourierova transformace|Fourierovu transformaci]] funkce ''f(x,y)''. |
|||
Definujme ještě tzv. '''delta funkci''' δ, pro kterou platí: |
|||
:<math>\delta(x) = 0 \Leftrightarrow x\neq 0 </math> |
|||
:<math>\delta(x) = ? \Leftrightarrow x=0 </math> |
|||
Shannonův teorém |
|||
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx = 1</math> |
|||
Pak vzorkování s krokem Δx, Δy je pouze násobení funkce obrazu nekonečným polem delta funkcí ''s(x,y)'' definovaným jako |
|||
:<math>s(x,y) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta(x-i\Delta x, y-j\Delta y)</math> |
|||
Tedy: ''d(x,y)'' = ''f(x,y)s(x,y)'' |
|||
Platí, že Fourieova transformace funkce ''s(x,y)'' má tvar, |
|||
Skočit na: Navigace, Hledání |
|||
:<math> |
|||
S(u,v) = \frac{1}{\Delta x \Delta y}\sum_{i=-\infty}^{\infty}\sum_{j=-\infty}^{\infty} \delta(u-\frac{i}{\Delta x}, v-\frac{j}{\Delta y}) |
|||
</math> |
|||
Shannonův teorém (Nyquistův teorém, Kotělnikovův teorém, Nyquistův-Shannonův teorém, Shannonův-Nyquistův-Kotělnikovův teorém, apod.) |
|||
„Přesná rekonstrukce spojitého, frekvenčně omezeného, signálu z jeho vzorků je možná tehdy, pokud byla vzorkovací frekvence vyšší než dvojnásobek nejvyšší harmonické složky vzorkovaného signálu.“ |
|||
Shannonův teorém a vzorkovací frekvence v praxi[editovat zdroj] |
|||
V praxi se tedy vzorkovací frekvence volí dvakrát větší plus ještě malá rezerva než je maximální požadovaná přenášená frekvence. V telekomunikacích je to např. 8 kHz neboť je třeba přenášet pouze signály ve standardním telefonním pásmu (od 0,3 do 3,4 kHz zaokrouhleno směrem nahoru 4 kHz). Například u záznamu na CD je to 44,1 kHz neboť průměrné zdravé lidské ucho slyší maximálně cca do 20 kHz a tudíž vzorkovací frekvence 44,1 kHz byla zvolena s určitou rezervou. |
|||
Shannonův teorém lze vyjádřit vztahem : tv≤1/2fmax [s]; Tv je interval mezi dvěma vzorky,fmax je maximální frekvence signálu. |
|||
V případě použití nižší vzorkovací frekvence může dojít k tzv. aliasingu, kdy rekonstruovaný signál je výrazně odlišný od původního vzorkovaného signálu. |
|||
Shannonův teorém pro vzorkování obrazu[editovat zdroj] |
|||
Nechť f(x,y) je spojitá funkce obrazu. Vzorkováním funkce f(x,y) rozumíme reprezentaci této funkce pomocí matice (označme ji d(x,y)). |
|||
Dále definujme konvoluci dvou funkcí f(x),g(x)∈L1 jako |
|||
Označme F(u,v) jako Fourierovu transformaci funkce f(x,y). |
|||
Definujme ještě tzv. delta funkci δ, pro kterou platí: |
|||
Pak vzorkování s krokem Δx, Δy je pouze násobení funkce obrazu nekonečným polem delta funkcí s(x,y) definovaným jako |
|||
Tedy: d(x,y) = f(x,y)s(x,y) |
|||
Platí, že Fourieova transformace funkce s(x,y) má tvar, |
|||
Díky konvolučnímu teorému, který říká: |
Díky konvolučnímu teorému, který říká: |
||
platí, že |
|||
Vzorkování je pak konvoluce Fourierova obrazu F funkce f s polem delta funkcí D. To znamená, že D(u,v) je nekonečné pole Fourierových obrazů funkce f. Při vzorkování s menším krokem se tyto obrazy od sebe vzdalují a naopak při vzorkování s delším krokem se k sobě přibližují. Pokud vzorkujeme příliš řídce, mohou se tyto obrazy protnout a vzniká efekt zvaný aliasing. Pokud je funkce frekvenčně omezená, je možné ji navzorkovat beze ztráty informace (tzn., že je možné ze vzorků opět získat funkci f v původní podobě). |
|||
Dle Shannonova teorému je pak ideální frekvence pro vzorkování rovna dvojnásobku maximální frekvence vyskytující se ve funkci f. Při vzorkování s krokem menším, než je polovina periody maximální frekvence, vzorkuji zbytečně moc. Při kroku větším než polovina periody maximální frekvence se Fourierovy obrazy protnou a vzniká alias. |
|||
Související články[editovat zdroj] |
|||
Aliasing |
|||
Kategorie: Matematická analýza |
|||
Funkcionální analýza |
|||
Zpracování digitálního signálu |
|||
Navigační menu |
|||
Vytvořit účet |
|||
Přihlaste se |
|||
Článek |
|||
Diskuse |
|||
Číst |
|||
Editovat zdroj |
|||
Zobrazit historii |
|||
Hlavní strana |
|||
Portál Wikipedie |
|||
Aktuality |
|||
Pod lípou |
|||
Poslední změny |
|||
Náhodný článek |
|||
Nápověda |
|||
Podpořte Wikipedii |
|||
Tisk/export |
|||
Vytvořit knihu |
|||
Stáhnout jako PDF |
|||
Verze k tisku |
|||
Nástroje |
|||
:<math>f(x)*g(x)=F(u)G(u)\,</math> |
|||
:<math>f(x)g(x)=F(u)*G(u)\,</math> |
|||
platí, že |
|||
:<math>D(u,v) = F(u,v)*S(u,v)\,</math> |
|||
Vzorkování je pak [[konvoluce]] Fourierova obrazu ''F'' funkce ''f'' s polem delta funkcí ''D''. To znamená, že D(u,v) je nekonečné pole Fourierových obrazů funkce ''f''. Při vzorkování s menším krokem se tyto obrazy od sebe vzdalují a naopak při vzorkování s delším krokem se k sobě přibližují. Pokud vzorkujeme příliš řídce, mohou se tyto obrazy protnout a vzniká efekt zvaný [[aliasing]]. Pokud je funkce frekvenčně omezená, je možné ji navzorkovat beze ztráty informace (tzn., že je možné ze vzorků opět získat funkci ''f'' v původní podobě). |
|||
Dle Shannonova teorému je pak ideální frekvence pro vzorkování rovna dvojnásobku maximální frekvence vyskytující se ve funkci ''f''. Při vzorkování s krokem menším, než je polovina periody maximální frekvence, vzorkuji zbytečně moc. Při kroku větším než polovina periody maximální frekvence se Fourierovy obrazy protnou a vzniká alias. |
|||
V jiných jazycích |
|||
== Související články == |
|||
العربية |
|||
* [[Aliasing]] |
|||
Català |
|||
Deutsch |
|||
English |
|||
Esperanto |
|||
Español |
|||
Suomi |
|||
Français |
|||
עברית |
|||
Italiano |
|||
日本語 |
|||
한국어 |
|||
मराठी |
|||
Nederlands |
|||
Polski |
|||
Português |
|||
Русский |
|||
Slovenščina |
|||
Basa Sunda |
|||
Svenska |
|||
தமிழ் |
|||
Українська |
|||
Tiếng Việt |
|||
中文 |
|||
Upravit odkazy |
|||
Stránka byla naposledy editována 7. 4. 2013 v 16:44. |
|||
Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora – Zachovejte licenci 3.0 Unported, případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce Podmínky užití. |
|||
Ochrana osobních údajů |
|||
O Wikipedii |
|||
Vyloučení odpovědnosti |
|||
Vývojáři |
|||
Mobilní verze |
|||
[[Kategorie: |
[[Kategorie:PC]] |
||
[[Kategorie:Funkcionální analýza]] |
|||
[[Kategorie:Zpracování digitálního signálu]] |
|||
Verze z 18. 11. 2013, 10:22
Vayeni kantori, pred tim, nez skopirujete celi text z wikipedie pro sve studenty, yredukujte pocet slov a informaci. Studenti jsou nasrani....
Shannonův teorém
Skočit na: Navigace, Hledání
Shannonův teorém (Nyquistův teorém, Kotělnikovův teorém, Nyquistův-Shannonův teorém, Shannonův-Nyquistův-Kotělnikovův teorém, apod.)
„Přesná rekonstrukce spojitého, frekvenčně omezeného, signálu z jeho vzorků je možná tehdy, pokud byla vzorkovací frekvence vyšší než dvojnásobek nejvyšší harmonické složky vzorkovaného signálu.“
Shannonův teorém a vzorkovací frekvence v praxi[editovat zdroj]
V praxi se tedy vzorkovací frekvence volí dvakrát větší plus ještě malá rezerva než je maximální požadovaná přenášená frekvence. V telekomunikacích je to např. 8 kHz neboť je třeba přenášet pouze signály ve standardním telefonním pásmu (od 0,3 do 3,4 kHz zaokrouhleno směrem nahoru 4 kHz). Například u záznamu na CD je to 44,1 kHz neboť průměrné zdravé lidské ucho slyší maximálně cca do 20 kHz a tudíž vzorkovací frekvence 44,1 kHz byla zvolena s určitou rezervou.
Shannonův teorém lze vyjádřit vztahem : tv≤1/2fmax [s]; Tv je interval mezi dvěma vzorky,fmax je maximální frekvence signálu.
V případě použití nižší vzorkovací frekvence může dojít k tzv. aliasingu, kdy rekonstruovaný signál je výrazně odlišný od původního vzorkovaného signálu.
Shannonův teorém pro vzorkování obrazu[editovat zdroj]
Nechť f(x,y) je spojitá funkce obrazu. Vzorkováním funkce f(x,y) rozumíme reprezentaci této funkce pomocí matice (označme ji d(x,y)).
Dále definujme konvoluci dvou funkcí f(x),g(x)∈L1 jako
Označme F(u,v) jako Fourierovu transformaci funkce f(x,y).
Definujme ještě tzv. delta funkci δ, pro kterou platí:
Pak vzorkování s krokem Δx, Δy je pouze násobení funkce obrazu nekonečným polem delta funkcí s(x,y) definovaným jako
Tedy: d(x,y) = f(x,y)s(x,y)
Platí, že Fourieova transformace funkce s(x,y) má tvar,
Díky konvolučnímu teorému, který říká:
platí, že
Vzorkování je pak konvoluce Fourierova obrazu F funkce f s polem delta funkcí D. To znamená, že D(u,v) je nekonečné pole Fourierových obrazů funkce f. Při vzorkování s menším krokem se tyto obrazy od sebe vzdalují a naopak při vzorkování s delším krokem se k sobě přibližují. Pokud vzorkujeme příliš řídce, mohou se tyto obrazy protnout a vzniká efekt zvaný aliasing. Pokud je funkce frekvenčně omezená, je možné ji navzorkovat beze ztráty informace (tzn., že je možné ze vzorků opět získat funkci f v původní podobě).
Dle Shannonova teorému je pak ideální frekvence pro vzorkování rovna dvojnásobku maximální frekvence vyskytující se ve funkci f. Při vzorkování s krokem menším, než je polovina periody maximální frekvence, vzorkuji zbytečně moc. Při kroku větším než polovina periody maximální frekvence se Fourierovy obrazy protnou a vzniká alias.
Související články[editovat zdroj]
Aliasing
Kategorie: Matematická analýza Funkcionální analýza Zpracování digitálního signálu
Navigační menu
Vytvořit účet
Přihlaste se
Článek
Diskuse
Číst
Editovat zdroj Zobrazit historii
Hlavní strana Portál Wikipedie Aktuality Pod lípou Poslední změny Náhodný článek Nápověda Podpořte Wikipedii
Tisk/export
Vytvořit knihu Stáhnout jako PDF Verze k tisku
Nástroje
V jiných jazycích
العربية Català Deutsch English Esperanto Español Suomi Français עברית Italiano 日本語 한국어 मराठी Nederlands Polski Português Русский Slovenščina Basa Sunda Svenska தமிழ் Українська Tiếng Việt 中文 Upravit odkazy
Stránka byla naposledy editována 7. 4. 2013 v 16:44. Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora – Zachovejte licenci 3.0 Unported, případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce Podmínky užití. Ochrana osobních údajů O Wikipedii Vyloučení odpovědnosti Vývojáři Mobilní verze