Difrakce

Difrakce na bodové štěrbině

Difrakce na malé štěrbině

Difrakce (česky ohyb) je jev, u kterého se vlnění dostává do oblasti geometrického stínu. Tento proces lze sledovat, když prochází světlo štěrbinou, jejíž šířka je srovnatelná s vlnovou délkou světla či de Broglieovu vlnovou délku částic. Za štěrbinou se na stínítku zobrazí difrakční neboli ohybové obrazce, tj. světlé a tmavé proužky různé šířky.

Mechanizmus

Jak již bylo řečeno výše, difrakce je ohyb světla na jakékoli překážce. Ohyb je způsoben Huygensovým principem, tedy jevem, kdy každý bod vlnoplochy záření se opět stává všesměrovým zdrojem. V případě štěrbiny to znamená, že mimo jiné její okraj se stane opět bodovým zdrojem světla a proto se světlo či částice mohou pohybovat do oblasti geometrického stínu.

S difrakcí je velmi těsně spojena interference. Pro světlo i difraktující částice je společné to, že za pozorovanou veličinou (v případě světla intenzita, v případě částic pravděpodobnost výskytu) je ukryta jistá přímo neměřitelná veličina popsaná v každém bodě komplexním číslem. Měřitelná je pak pouze amplituda této funkce nikoli její fáze. Naopak setkají-li se dvě různá vlnění (například pocházející ze sousedních štěrbin difrakční mřížky) sečtou se tyto komplexní amplitudy ale my pak pozorujeme velikost součtu amplitud nikoli součet velikostí, což jsou dvě naprosto odlišné veličiny. Tento jev je jmenuje interference.

Optická interference

Budeme uvažovat paprsek pohybující se jistým směrem potom vektory elektrické intenzity kmitají ve dvou směrech kolmých na směr pohybu nezávisle. Vektor elektrické intenzity je právě ten výše zmíněný nepozorovatelný vektor, resp. komplexní číslo. (Víme, že vektor elektrické intenzity je kolmý na směr paprsku, proto můžeme jeho složky identifikovat s reálnou resp. imaginární částí jistého komplexního čísla a nadále k popisu tohoto vektoru používat pouze tohoto komplexního čísla. Výhodou je jednodušší algebraická manipulace.) Studujeme-li světlo ve vakuu, tak platí, že v jednom bodě prostoru se v čase amplitudy elektrické intenzity mění harmonicky s úhlovou frekvencí spjatou s vlnovou délkou, naopak v jednom čase se v prostoru se mění amplituda též harmonicky, ale s periodou odpovídající vlnové délce.

Konkrétní příklady

V této sekci se budeme zabývat tzv. fraunhoferovou difrakcí, tj. případem, kdy je stínítko ve velké vzdálenosti od štěrbiny. Dále budeme uvažovat pouze lineárně polarizované světlo, tj. případ, kdy vektor elektrické intenzity kmitá pouze v jednom směru. Pro obecně polarizované světlo získáme stejné vztahy, protože jej můžeme rozložit na dvě lineárně polarizovaná vlnění, která spolu navzájem neinteragují.

Najděme nyní úhly, při kterých dochází ke konstruktivní resp. destruktivní interferenci, tj. kde pozorujeme světlé resp. tmavé proužky. Nyní se budeme zabývat světlem, ale pro částice je mechanizmus naprosto stejný, akorát se používá jiné terminologie.

Difrakce dvojštěrbině

Budeme prvně uvažovat, že obě štěrbiny jsou úzké, potom každá z nich vydává svou kulovou vlnoplochu (v každém bodě popsanou svou komplexní amplitudou), tyto amplitudy se sečtou a my na stínítku pozorujeme velikost velikost výsledné amplitudy.

Abychom mohli pozorovat světlé proužky, musí být rozdíl vzdáleností bodu na stínítku od jedné a druhé štěrbiny roven nějakému celočíselnému násobku vlnové délky, tomuto číslu pak říkáme řád maxima. Bude-li totiž rozdíl vzdáleností roven např. poločíselnému násobku vlnových délek, nebudeme pozorovat v tomto bodě nic. Jak jsme psali výše amplituda se mění harmonicky v prostoru a při posunu o půl periody je právě změní na opačnou, proto je celková amplituda (součet parciálních) rovna nule.

Označíme-li $x$ vzdálenost na stínítku od osy soustavy, $d$ vzdálenost stínítka a $a$ vzdálenost štěrbin tak, pro rozdíl vzdáleností platí

$\Delta ={\sqrt {d^{2}+\left(x+{\frac {a}{2}}\right)^{2}}}-{\sqrt {d^{2}+\left(x-{\frac {a}{2}}\right)^{2}}}\,,$

kde můžeme použít rozvoje do Taylorova polynomu v malé proměnné $(x\pm a/2)/d$. Dostáváme

$\Delta =d\left({\sqrt {1+\left({\frac {x+a/2}{d}}\right)^{2}}}-{\sqrt {1+\left({\frac {x-a/2}{d}}\right)^{2}}}\right)\approx d\left(1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x+a/2}{d}}\right)^{2}-1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-a/2}{d}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{2}}\left(\left({\frac {x+a/2}{d}}\right)^{2}-\left({\frac {x-a/2}{d}}\right)^{2}\right)\,,$

což můžeme upravit dle vzorce pro rozdíl druhých mocnin. Dosadíme-li $\Delta =k\lambda$ a $\varphi =x/d$, dostáváme

$\varphi _{k}^{\rm {max}}={\frac {k\lambda }{a}}\,,$

což je úhel odpovídající $k$-tému interferenčnímu maximu (maximum, ležící na ose experimentu se nazývá nulté).

Pro minima platí obdobný vztah (zde první minimum označujeme to, které je nejblíže k ose experimentu)

$\varphi _{k}^{\rm {min}}={\frac {\left(k-{\frac {1}{2}}\right)\lambda }{a}}\,.$

Difrakce na mřížce

Důvodem proč se používá v optické spektroskopii mřížka nikoli dvojštěrbina je, že má větší světelnost a též ostřejší maxima. Při korektním výpočtu závislosti pozorované intenzity na úhlu vyzařování od štěrbiny zjistíme, že jde o hladkou funkci. Naopak pro ideální mřížku je šířka maxima nulová.

Chceme-li zjistit závislost pozorované intenzity světla po průchodu mřížkou, musíme složit větší (v ideálním případě nekonečný) počet vln jako v případě dvojštěrbiny. Nenulová vyzařovaná intenzita bude pouze v takových směrech, že dráhový rozdíl mezi paprsky vycházejícími ze sousedních štěrbin bude celočíselný násobek vlnové délky. Nebude-li dráhový rozdíl mezi sousedními štěrbinami roven násobku vlnové délky, musíme sčítat elektrické intenzity s různou fází (všechny fáze budou v daný čas zastoupeny rovnoměrně), což nám dá celkově nulu, protože střední hodnota sinu i kosinu je nulová. Pro směry difrakčních maxim tedy dostáváme stejnou podmínku jako pro dvojštěrbinu, až na to, že zde $a$ značí vzdálenost vrypů.

$\varphi _{k}={\frac {k\lambda }{a}}\,.$

Mřížková konstanta se zavádí jako převrácená hodnota vzdálenosti vrypů, její typická velikost pro optické mřížky je několik set na milimetr.

Související články

• Interference
• Ohyb světla

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Difrakce na Wikimedia Commons

• Difraktace na optika.kuratkoo.net