Sigma algebra

$\sigma$-algebra (sigma-algebra, též $\sigma$-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix $\sigma$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

V teorii míry se $\sigma$-algebra nazývá měřitelný prostor.

Měřitelná množina je každá množina ze systému množin tvořících $\sigma$-algebru (tj. každý prvek ${\mathcal {A}}$ v níže uvedené definici).

Formální definice

Uspořádanou dvojici $(\Omega ,{\mathcal {A}})$, kde $\Omega$ je libovolná množina a ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ je nějaký systém jejích podmnožin, nazveme $\sigma$-algebrou, jestliže ${\mathcal {A}}$ obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.

1. $\emptyset \in {\mathcal {A}}$
2. jestliže $(\forall n\in \mathbb {N} )(M_{n}\in {\mathcal {A}})$, pak $\bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}\in {\mathcal {A}}$
3. jestliže $M\in {\mathcal {A}}$, pak $\Omega \setminus M\in {\mathcal {A}}$

Další vlastnosti

• $\sigma$-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: $\left(\bigcup _{M\in {\mathcal {A}}}M\right)\in {\mathcal {A}}$; dostaneme dosazením prázdné množiny za $M$ v poslední části definice
• $\sigma$-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže $(\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {R}})$, pak $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}$

Použití

Koncept $\sigma$-algebry je důležitý především v teorii míry, kde se nazývá měřitelný prostor, a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je $\sigma$-aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině $\Omega$ hodnotu 1.

Měřitelná množina

Jestliže $\Omega$ je libovolná množina a $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ je $\sigma$-algebra, pak měřitelná množina je libovolná množina, která patří do ${\mathcal {A}}$.

Související články

• $\sigma$-okruh
• Pravděpodobnost