Norma (matematika): Porovnání verzí
m r2.7.1) (Robot: Přidávám cy:Norm (mathemateg) |
m Bot: Odstranění 29 odkazů interwiki, které jsou nyní dostupné na Wikidatech (d:q956437) |
||
Řádek 66: | Řádek 66: | ||
[[Kategorie:Lineární algebra]] |
[[Kategorie:Lineární algebra]] |
||
[[ca:Norma (matemàtiques)]] |
|||
[[cy:Norm (mathemateg)]] |
|||
[[da:Norm (matematik)]] |
|||
[[de:Norm (Mathematik)]] |
|||
[[en:Norm (mathematics)]] |
|||
[[eo:Normo (matematiko)]] |
|||
[[es:Norma vectorial]] |
|||
[[fa:نرم (ریاضیات)]] |
|||
[[fi:Normi (matematiikka)]] |
|||
[[fr:Norme (mathématiques)]] |
|||
[[he:נורמה (אנליזה)]] |
|||
[[hu:Norma (matematika)]] |
|||
[[is:Staðall (stærðfræði)]] |
|||
[[it:Norma (matematica)]] |
|||
[[ja:ノルム]] |
|||
[[ko:노름]] |
|||
[[lmo:Norma (matemàtega)]] |
|||
[[lt:Vektoriaus norma]] |
|||
[[nl:Norm (wiskunde)]] |
|||
[[nn:Norm i matematikk]] |
|||
[[no:Norm (matematikk)]] |
|||
[[pt:Norma (matemática)]] |
|||
[[ru:Норма (математика)]] |
|||
[[simple:Norm (mathematics)]] |
|||
[[sl:Norma (matematika)]] |
|||
[[sv:Norm (matematik)]] |
|||
[[uk:Норма (математика)]] |
|||
[[ur:امثولہ (ریاضی)]] |
|||
[[zh:范数]] |
Verze z 16. 3. 2013, 19:55
Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.
Definice
Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je
- pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro a ∈ F a v ∈ V;
- subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, v ∈ V.
Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna v ∈ V.
Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:
- p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.
Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.
Příklady
- Každá norma je seminorma.
- Absolutní hodnota je norma na reálných číslech.
- Každá lineární forma f na vektorovém prostoru definuje seminormu x → |f(x)|.
Eukleidovská norma
Na prostoru lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x1, x2, ..., xn) jako
Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).
p-norma
Nechť p ≥ 1 je reálné číslo.
- Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph“): {\displaystyle \|{\emph {\textbf {x}}}\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}
Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).
Maximová norma
- Nelze pochopit (Chyba konverze. Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hlásí: „Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph“): {\displaystyle \|{\emph {\textbf {x}}}\|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right).}
Norma na prostoru se skalárním součinem
Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu
Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost
Vlastnosti
Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).
Normy ||•||α and ||•||β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že
pro všechna x ∈ V. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||1, ||•||2 a ||•||∞ jsou ekvivalentní na prostoru :
Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.
Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny
Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.
Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μC známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná
Pro tuto seminormu platí