Axiom výběru

Axiom výběru (ozn. (AC)) je axiom často přidávaný k obvyklým axiomům Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (ZF). Poprvé jej formuloval Ernst Zermelo v roce 1904.

Formulace

Tento axiom tvrdí:

Pro každý neprázdný soubor neprázdných množin existuje funkce, která z každé množiny tohoto souboru vybírá právě jeden prvek.

V matematické notaci: $(\forall I\neq \emptyset )(\forall i)(i\in I\implies A_{i}\neq \emptyset )\implies (\exists f(f\ {\mbox{je funkce}}\,\land \,\operatorname {dom} (f)=I\,\land \,(\forall i)(i\in I\implies f(i)\in A_{i})))$

Motivace pro přijetí AC

Důležitou vlastností (AC) je to, že umožňuje ke každému souboru množin získat soubor jejich prvků, z každé množiny jeden, a to bez znalosti jakéhokoli algoritmu, kterým by tento výběr prvků mohl být proveden, pouze z předpokladu neprázdnosti souboru i jednotlivých množin (tj. nekonstruktivně). Na konečném souboru množin je (AC) snadno dokazatelný – i podle selského rozumu je zřejmé, že vybrat z každé hromady kamení jeden kámen není žádný problém. Problémem začíná být až nekonečný soubor množin a to především soubory „hodně nekonečné“ (nespočetné, bez dobrého uspořádání).

V některých odvětvích matematiky, zejména v nekonečné kombinatorice, ale například i v matematické analýze, se (AC) ukazuje jako zcela nezbytný předpoklad pro rozvoj těchto disciplín. S (AC) je ekvivalentní řada principů teorie množin, které zásadním způsobem „učesávají“ svět teorie množin – nejznámějšími z nich jsou princip maximality a princip dobrého uspořádání. Přijetím axiomu výběru se tedy svět teorie množin stává (z pohledu jeho příznivců) přehlednějším, ale ne zas tolik, aby přestal být zajímavým.

Motivace pro odmítnutí AC

Odpůrci zařazení (AC) mezi standardní axiomy teorie množin (například konstruktivisté) poukazují na jeho odlišný charakter od ostatních podobných axiomů teorie množin, které obvykle postulují možnost vytvoření nové množiny z již existujících množin jednoduchým a přehledným způsobem (viz axiom sumy, axiom potence, axiom dvojice). Na rozdíl od nich (AC) nedává žádnou představu o tom, jak výběrová funkce (viz formulace axiomu) vypadá – je tedy spíše „čistě existenční“ než „konstrukční“.

Druhým argumentem je, že (AC) příliš omezuje rozmanitost objektů ve světě teorie množin – podle principu dobrého uspořádání ekvivalentního s (AC) lze každou množinu uspořádat tak, aby byla izomorfní s některým ordinálním číslem – to tvrzení tak vlastně říká, že teorie množin nepopisuje žádné objekty, které by nešlo dobře uspořádat.

Dalo by se říci, že svět ZF s (AC) stojí někde na půli cesty mezi rozmanitým, ale hůře popsatelným a použitelným světem ZF bez (AC), a mezi příliš omezeným a zjednodušeným, ale zato dokonale přehledným světem ZF s axiomem konstruovatelnosti.

Nezávislost AC na axiomech ZF

(AC) je bezesporný neboli konzistentní s ostatními axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin (je takzvaně relativně bezesporný s ZF). Platí totiž v jednom modelu teorie množin, a to v univerzu konstruovatelných množin, což dokázal v roce 1940 Kurt Gödel. V tomto modelu platí dokonce axiom silného výběru a dále například zobecněná hypotéza kontinua.

Také negace (AC) je relativně bezesporná s ZF, a tedy (AC) je nezávislý na axiomech |ZF. Přidáním negace (AC) k ZF však vzniká již teorii s dosti podivnými vlastnostmi (lze v ní například bezesporně předpokládat neplatnost klasické Heineho věty).

Podívejte se také na

• Zermelo-Fraenkelova teorie množin
• Hypotéza kontinua
• Axiom silného výběru
• Konstruovatelná množina