Dimenze vektorového prostoru

Dimenzí (nebo také rozměrem) vektorového prostoru nazýváme počet prvků libovolné báze tohoto prostoru. Triviálnímu vektorovému prostoru $\{0\}$, který nemá žádnou bázi, přiřazujeme dimenzi $0$.

Vektorový prostor $V$ dimenze $n$ zapisujeme jako $V_{n}$, popř. píšeme $\dim V=n$. Prostor $V_{n}$ nazýváme $n$-rozměrným vektorovým prostorem. Pokud je dimenze konečná, příslušný vektorový prostor se označuje jako konečněrozměrný. Pokud prostor není konečně rozměrný, nazývá se někdy nekonečněrozměrný, neboli říkáme, že má nekonečnou dimenzi. Za předpokladu axiomu výběru má každý vektorový prostor bázi. Pak můžeme dimenzi příslušného prostoru definovat jako kardinalitu báze.

Příklady

• Vektorový prostor $\mathbb {R} ^{3}$ má bázi $\{(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}$ o třech prvcích, takže jeho dimenze je 3. Obecně platí, že $\dim \mathbb {R} ^{n}=n$ a ještě obecněji $\dim F^{n}=n$ (pro libovolné těleso $F$, $F^{n}$ je chápáno jako vektorový prostor nad $F$).
• Komplexní čísla jako vektorový prostor nad tělesem reálných čísel mají dimenzi 2, jako vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel však mají dimenzi 1.
• Vektorový prostor polynomů s reálnými koeficienty $\mathbb {R} [x]$ má bázi $\{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}$ o nekonečně mnoha prvcích, dimenze tohoto prostoru je proto nekonečná a označuje se $\aleph _{0}$ (alef 0)

Vlastnosti

Je-li $W$ podprostorem konečněrozměrného prostoru $V$, pak platí $\dim W\leq \dim V$, přičemž rovnost nastává pouze tehdy, pokud $W=V$. Libovolné dva konečněrozměrné vektorové prostory nad stejným tělesem se stejnou dimenzí jsou izomorfní.

Pokud je $F$ rozšíření tělesa $K$, je $F$ vektorový prostor nad tělesem $K$ a libovolný vektorový prostor $V$ nad tělesem $F$ je také vektorový prostor nad tělesem $K$, přičemž platí

$\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\cdot \dim _{F}(V)$

Příkladem je fakt, že libovolný komplexní vektorový prostor dimenze $n$ je současně reálným vektorovým prostorem dimenze $2n$.

Pokud $V$ je vektorový prostor nad tělesem $F$, platí:

• Pokud je $\dim V$ konečné, pak $|V|=|F|\dim V$,
• pokud je $\dim V$ nekonečné, pak $|V|=\max \left(|F|,\dim V\right)$.

Jsou-li $U$ a $V$ vektorové prostory, platí

$\dim U+\dim V=\dim(U+V)+\dim(U\cap V)$

Související články

• Báze (algebra)
• Hausdorffova dimenze
• Rozměr
• Topologická dimenze