Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 16. 9. 2006, 09:13

Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin (někdy také označovaná jako Gödel-Bernaysova teorie množin nebo NBG či GB) je jedním z nejšířeji přijatých a používaných axiomatických systémů teorie množin.
Stejně jako v případě Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nebo Kelley-Morseova teorie množin se jedná o (úspěšný) pokus postavit teorii množin a tím i celou moderní matematiku na přísných formálních základech, které zabrání sporům typu Russellova paradoxu - podrobněji v článku Teorie množin.

Historie

První axiomatiku teorie množin s třídami předvedl ve své práci Eine axiomatisierung der Mengenlehre z roku 1925 John von Neumann. Tato axiomatizace se však podstatně liší od dnes obecně uznávané (jazyk této axiomatizace dokonce neobsahuje predikát náležení). První axiomatizaci dnešního typu předvedl Paul Bernays ve své prácí A system of axiomatic set theory (1937). Jeho myšlenky dokončil roku 1940 Kurt Gödel v článku The consistency of the axiom of choice and of the general continuum hypothesis. Význam tohoto článku však dalekosáhle přesahuje pouhé dolaďení axiomatizece NGB.

Vztah NBG a ZFC

Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin se z hlediska své síly příliš neliší od poněkud rozšířenější ZF či ZFC (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o axiom výběru) - libovolný výrok o množinách je v NBG dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v ZF - mluvíme tedy o teorii NBG jako o konzervativním rozšíření teorie ZF (říkáme také, že NBG a ZF jsou ekvikonzistentní). Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.

Na rozdíl od ZFC, jejímž objektem jsou pouze množiny a třídy tvoří pomocný konstrukt na úrovni metajazyka, v NBG jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin - na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení - jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu:
$Set(X)\Leftrightarrow (\exists Y)(X\in Y)$
Někdy se k axiomům NBG přidává ještě takzvaný silný axiom výběru, či axiom silného výběru, výsledná teorie se pak značí NBG+AS. Axiom silného výběru lze formálně zapsat následujícím způsobem (axiom silného výběru tedy postuluje, že všechny vlastní třídy mají tutéž mohutnost):
$\neg Set(X)\Leftrightarrow (\|X\|=\|V\|)$
, kde V je třída všech množin - univerzální třída

Na rozdíl od ZF neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) NBG nekonečný počet axiomů - nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu schématu axiomů nahrazení nebo schématu axiomů vydělení.

Axiomy

Teorie NGB má následující axiomy, v nichž malá písmena značí množinové proměnné a velká písmena obecné (třídové proměnné) (tj. velká písmena zastupují libovolné objekty - třídy i množiny, kdežto malá pouze množiny):

axiom definice množiny: $(\exists x)(x=X)\Leftrightarrow (\exists Y)(X\in Y)$
axiom existence množiny: $(\exists X,Y)(X\in Y)$
axiom extenzionality pro třídy: $(\forall X,Y)(X=Y\Leftrightarrow (\forall e)(e\in X\Leftrightarrow e\in Y)$
schéma existence tříd: $(\exists Z)(\forall e)(e\in Z\Leftrightarrow \Phi )$ kde $\Phi$ je formule v níž jsou kvantifikovány pouze množinové proměnné
axiom dvojice: $(\forall x,y)(\exists z)(\forall e)(e\in z\Leftrightarrow (e=x\vee e=y))$
axiom nahrazení: $(\forall F)((\forall y,e_{1},e_{2})((<y,e_{1}>\in F\land <y,e_{2}>\in F)\Rightarrow e_{1}=e_{2})\Rightarrow$ $\Rightarrow (\forall x)(\exists z)(\forall e)(e\in z\Leftrightarrow (\exists y)(y\in x\land <y,e>\in F)))$

Nutno dodat, že schéma existence tříd je možné nahradit konečně mnoha jednotlivými axiomy. V důsledku toho je NGB konečně axiomatizovatelná (narozdíl od ZF).

Podívejte se také na

Šablona:Portál matematika

@@ Řádek 6: / Řádek 6: @@
 == Vztah NBG a ZFC ==
-'''Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' se z hlediska své síly příliš neliší od poněkud rozšířenější [[ZF]] či [[ZFC]] (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o [[axiom výběru]]) - libovolný výrok o [[Množina|množinách]] je v '''NBG''' dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v '''ZF''' - mluvíme tedy o teorii '''NBG''' jako o [[Konzervativní rozšíření|konzervativním rozšíření]] teorie '''ZF''' (říkáme také, že '''NGB''' a '''ZF''' jsou ekvikonzistentní). Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.
+'''Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' se z hlediska své síly příliš neliší od poněkud rozšířenější '''[[ZF]]''' či '''[[ZFC]]''' (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o [[axiom výběru]]) - libovolný výrok o [[Množina|množinách]] je v '''NBG''' dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v '''[[ZF]]''' - mluvíme tedy o teorii '''NBG''' jako o [[Konzervativní rozšíření|konzervativním rozšíření]] teorie '''[[ZF]]''' (říkáme také, že '''NBG''' a '''[[ZF]]''' jsou ekvikonzistentní). Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.
-Na rozdíl od '''ZFC''', jejímž objektem jsou pouze [[množina|množiny]] a [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni [[metajazyk]]a, v '''NBG''' jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin - na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení - jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu:<br />
+Na rozdíl od '''[[ZFC]]''', jejímž objektem jsou pouze [[množina|množiny]] a [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni [[metajazyk]]a, v '''NBG''' jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin - na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení - jednoduše řečeno množiny jsou právě ty objekty, které jsou prvkem jiného objektu:<br />
 <math>Set(X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \isin Y)</math><br />
-Někdy se k axiomům NGB přidává ještě takzvaný silný axiom výběru, či [[axiom silného výběru]], výsledná teorie se pak značí '''NGB+AS'''. Axiom silného výběru lze formálně zapsat následujícím způsobem (axiom silného výběru tedy postuluje, že všechny vlastní třídy mají tutéž mohutnost):<br />
+Někdy se k axiomům '''NBG''' přidává ještě takzvaný silný axiom výběru, či [[axiom silného výběru]], výsledná teorie se pak značí '''NBG+AS'''. Axiom silného výběru lze formálně zapsat následujícím způsobem (axiom silného výběru tedy postuluje, že všechny vlastní třídy mají tutéž mohutnost):<br />
-<math> \neg Set(X) \Leftrightarrow ( \| x \| = \| V \|)</math><br />, kde V je třída všech množin - [[univerzální třída]]
+<math> \neg Set(X) \Leftrightarrow ( \| X \| = \| V \|)</math><br />, kde V je třída všech množin - [[univerzální třída]]
-Na rozdíl od '''ZF''' neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) '''NBG''' nekonečný počet axiomů - nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů nahrazení|schématu axiomů nahrazení]] nebo [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů vydělení|schématu axiomů vydělení]].
+Na rozdíl od '''[[ZF]]''' neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) '''NBG''' nekonečný počet axiomů - nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů nahrazení|schématu axiomů nahrazení]] nebo [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin#Schéma axiomů vydělení|schématu axiomů vydělení]].
 == Axiomy ==