Von Neumannova–Bernaysova–Gödelova teorie množin: Porovnání verzí

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Smazaný obsah Přidaný obsah
Chrupoš (diskuse | příspěvky)
Bez shrnutí editace
 
Glivi (diskuse | příspěvky)
m úpravy, doplňky, upřesnění, odkazy
Řádek 1: Řádek 1:
'''Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' (někdy také označovaná jako '''Gödel-Bernaysova teorie množin''' nebo '''NBG''') je jedním z nejšířeji přijatých a používaných [[Axiom|axiomatických]] systémů [[teorie množin]].<br />
'''Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' (někdy také označovaná jako '''Gödel-Bernaysova teorie množin''' nebo '''NBG''' či '''GB''') je jedním z nejšířeji přijatých a používaných [[Axiom|axiomatických]] systémů [[teorie množin]].<br />
Stejně jako v případě [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin|Zermelo-Fraenkelovy teorie množin]] nebo [[Morse-Kelleyho teorie množin]] se jedná o (úspěšný) pokus postavit teorii množin a tím i celou moderní matematiku na přísných formálních základech, které zabrání sporům typu [[Russelův paradox|Russellova paradoxu]] - podrobněji v článku [[Teorie množin]].
Stejně jako v případě [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin|Zermelo-Fraenkelovy teorie množin]] nebo [[Kelley-Morseova teorie množin]] se jedná o (úspěšný) pokus postavit teorii množin a tím i celou moderní matematiku na přísných formálních základech, které zabrání sporům typu [[Russelův paradox|Russellova paradoxu]] - podrobněji v článku [[Teorie množin]].


== NBG a ZFC==
== NBG a ZFC ==
'''von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' se příliš neliší od poněkud rozšířenější [[ZFC]] (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o [[axiom výběru]]) - libovolný výrok o [[Množina|množinách]] je v '''NBG''' dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v '''ZFC''' - mluvíme tedy o teorii '''NBG''' jako o [[Konzervativní rozšíření|konzervativním rozšíření]] teorie '''ZFC'''. Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.
'''Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin''' se z hlediska své síly příliš neliší od poněkud rozšířenější [[ZF]] či [[ZFC]] (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o [[axiom výběru]]) - libovolný výrok o [[Množina|množinách]] je v '''NBG''' dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v '''ZF''' - mluvíme tedy o teorii '''NBG''' jako o [[Konzervativní rozšíření|konzervativním rozšíření]] teorie '''ZF''' (říkáme také, že '''NGB''' a '''ZF''' jsou ekvikonzistentní). Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.


Na rozdíl od '''ZFC''', jejímž objektem jsou pouze množiny a [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni metajazyka, v '''NBG''' jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin - na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení - jednoduše řečeno musí být prvkem nějaké třídy a nesmějí být "moc velké" (přesněji - každá [[vlastní třída]] má [[mohutnost]] univerzální třídy a žádná množina takovou mohutnost nemá):<br />
Na rozdíl od '''ZFC''', jejímž objektem jsou pouze množiny a [[Vlastní třída|třídy]] tvoří pomocný konstrukt na úrovni [[metajazyk]]a, v '''NBG''' jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin - na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení - jednoduše řečeno musí být prvkem nějaké třídy a nesmějí být "moc velké" (přesněji - každá [[vlastní třída]] má [[mohutnost]] univerzální třídy a žádná množina takovou mohutnost nemá):<br />
<math>Set(X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \isin Y)</math><br />
<math>Set(X) \Leftrightarrow ( \exist Y)(X \isin Y)</math><br />
<math> \neg Set(X) \Leftrightarrow ( \| x \| = \| V \|)</math><br />, kde V je třída všech množin - [[univerzální třída]]
<math> \neg Set(X) \Leftrightarrow ( \| x \| = \| V \|)</math><br />, kde V je třída všech množin - [[univerzální třída]]

Verze z 15. 9. 2006, 17:30

Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin (někdy také označovaná jako Gödel-Bernaysova teorie množin nebo NBG či GB) je jedním z nejšířeji přijatých a používaných axiomatických systémů teorie množin.
Stejně jako v případě Zermelo-Fraenkelovy teorie množin nebo Kelley-Morseova teorie množin se jedná o (úspěšný) pokus postavit teorii množin a tím i celou moderní matematiku na přísných formálních základech, které zabrání sporům typu Russellova paradoxu - podrobněji v článku Teorie množin.

NBG a ZFC

Von Neumann-Bernays-Gödelova teorie množin se z hlediska své síly příliš neliší od poněkud rozšířenější ZF či ZFC (tj. Zermelo-Fraenkelovy teorie množin rozšířené o axiom výběru) - libovolný výrok o množinách je v NBG dokazatelný tehdy a jen tehdy, pokud je dokazatelný v ZF - mluvíme tedy o teorii NBG jako o konzervativním rozšíření teorie ZF (říkáme také, že NGB a ZF jsou ekvikonzistentní). Rozdíl mezi oběma teoriemi spočívá v použitém jazyku a v počtu axiomů.

Na rozdíl od ZFC, jejímž objektem jsou pouze množiny a třídy tvoří pomocný konstrukt na úrovni metajazyka, v NBG jsou množiny i třídy objektem ve světě teorie množin - na množiny jsou však kladena (jejich definicí) určitá omezení - jednoduše řečeno musí být prvkem nějaké třídy a nesmějí být "moc velké" (přesněji - každá vlastní třídamohutnost univerzální třídy a žádná množina takovou mohutnost nemá):


, kde V je třída všech množin - univerzální třída

Na rozdíl od ZFC neobsahuje (právě díky zavedení tříd jako součásti jazyka teorie množin) NBG nekonečný počet axiomů - nemusí si totiž vypomáhat axiomatickými schématy typu schématu axiomů nahrazení nebo schématu axiomů vydělení.

Podívejte se také na

Šablona:Portál matematika