Hamiltonovská formulace mechaniky: Porovnání verzí

Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
drobnosti, odstranění 1. osoby
m ([r2.6.4] robot změnil: ro:Mecanică hamiltoniană)
(drobnosti, odstranění 1. osoby)
Hamiltonovská formulace mechaniky je považována za součást [[teoretická mechanika|teoretické mechaniky]] a objevil ji v roce [[1833]] [[William Rowan Hamilton]]. Hamiltonovská formulace mechaniky našla uplatnění nejen ve [[statistická fyzika|statistické fyzice]], ale především při přechodu ke [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]].
 
V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají [[zobecněná souřadnice|zobecněné souřadnice]] a [[zobecněná hybnost|zobecněné hybnosti]], přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné [[proměnná|proměnné]] ve [[fázový prostor|fázovém prostoru]]. Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných [[transformace|transformací]] přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové souřadnice se označují jako [[kanonická transformace|kanonické]] a je při nich požadováno, aby si [[Hamiltonova rovnice|Hamiltonovy rovnice]] zachovávaly svůj tvar. [[Invariant (matematika)|Invariantem]] kanonických transformací je tzv. [[Poissonova závorka]]. [[Pohyb]] mechanických systémů lze pak chápat jako kanonickou transformaci.
== Formulace ==
 
V této formulaci mechaniky se k popisu systému používají [[zobecněná souřadnice|zobecněné souřadnice]] a [[zobecněná hybnost|zobecněné hybnosti]], přičemž zobecněné souřadnice a jim odpovídající zobecněné hybnosti jsou považovány za rovnoprávné [[proměnná|proměnné]] ve [[fázový prostor|fázovém prostoru]]. Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných [[transformace|transformací]] přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové souřadnice se označují jako [[kanonická transformace|kanonické]] a je při nich požadováno, aby si [[Hamiltonova rovnice|Hamiltonovy rovnice]] zachovávaly svůj tvar. [[Invariant (matematika)|Invariantem]] kanonických transformací je tzv. [[Poissonova závorka]]. [[Pohyb]] mechanických systémů lze pak chápat jako kanonickou transformaci.
Hamiltonovská formulace umožňuje pomocí vhodných [[transformace|transformací]] přecházet mezi souřadnicemi a hybnostmi a různě je zaměňovat. Takové souřadnice se označují jako [[kanonická transformace|kanonické]] a je při nich požadováno, aby si [[Hamiltonova rovnice|Hamiltonovy rovnice]] zachovávaly svůj tvar. [[Invariant (matematika)|Invariantem]] kanonických transformací je tzv. [[Poissonova závorka]].
 
== Hamiltonovy rovnice ==
 
=== Příklad ===
Příkladem Hamiltonových rovnic mohou být rovnice pro jednorozměrný [[pohyb]] [[volná částice|volnéhovolné částice]] ([[hmotný bod|hmotného bodu]]). Vyjdeme z Lagrangiánu <math>L=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\dot{q}^2</math>.
 
Zobecněná hybnost je pak <math>p=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=\frac{1}{2}m\cdot 2\dot{q}=m\dot{q}=mv</math>. Tedy inverzí získáváme (později musíme hamiltonián vyjádřit v proměnných <math>q</math> a <math>p</math>, nikoli <math>\dot{q}</math>) <math>\dot{q}=\frac{p}{m}</math>.
 
Dosazením do definice hamiltoniánu dostáváme
 
Z lagrangiánu <math>H = p\dot{q} - L = \frac{p^21}{m2} - mv^2=\frac{1}{2}m\dot{q}^2</math> =vyplývá \frac{p^2}{m}zobecněná -hybnost <math>p=\frac{1\partial L}{2}m\fracpartial \dot{p^2q}{m^2}=\frac{1}{2}m\fraccdot 2\dot{pq}{=m\dot{q} =mv</math>, odtud <math>\dot{q}=\frac{p^2}{2mm}</math>.
 
Dosazením do definice hamiltoniánu: dostáváme
Nakonec dosadíme do Hamiltonových kanonických rovnic, které mají tvar
:<math>H = p\dot{q} - L = \frac{p^2}{m} - \frac{1}{2}m\dot{q}^2 = \frac{p^2}{m} - \frac{1}{2}m\frac{p^2}{m^2}=\frac{1}{2}\frac{p}{m} = \frac{p^2}{2m}</math>.
 
Nakonec dosadímeDosazením do Hamiltonových kanonických rovnic, které mají tvar:
:<math>\dot{q} = \frac{\part H}{\part p} = \frac{p}{m}</math> a
:<math>\dot{p} = -\frac{\part H}{\part q} = 0</math>.
 
Tedy vidíme, žee rychlost částice (<math>v</math>, neboli <math>\dot{q}</math>) zůstává konstantní (1. rovnice) a tedy že částice se pohybuje rovnoměrně přímočaře.
 
== Související články ==

Navigační menu