Přímočarý pohyb

Přímočarý pohyb je pohyb po přímce, tzn. trajektorií pohybu je přímka.

Vlastnosti

Při přímočarém pohybu se nemění směr vektoru rychlosti, ale může se měnit velikost rychlosti. To znamená, že se nemění směr vektoru zrychlení, který musí být souhlasný se směrem vstupní rychlost, je-li nenulová, avšak velikost vektoru zrychlení se měnit může.

U mechanického pohybu rozlišujeme dva druhy zrychlení, respektive dvě jeho složky, na které můžeme každé zrychlení rozložit. První složkou je zrychlení tečné, toto zrychlení má směr tečny k danému trajektorii pohybu, zajišťuje změnu velikosti rychlosti! Druhou složkou je zrychlení normálové, toto zrychlení má směr normály (kolmice) k trajektorii pohybu a zajišťuje změnu především změnu směru pohybu.

Pro přímo čarý pohyb platí, že normálové zrychlení $a_{n}=0ms^{-2}$. Pro zrychlení tečné platí $a_{t}\in \mathbb {R}$.

Obecné vzorce

Pro přímočarý pohyb hmotného bodu platí definice velikosti rychlosti (průměrná velikost rychlosti na určitém časovém úseku):

$v_{p}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$, kde Δs je změna dráhy a Δt změna času.

Můžeme tedy usoudit, že čím menší bude časový úsek, na kterém budeme rychlost měřit, tím více se bude hodnota průměrné rychlosti blížit hodnotě aktuální rychlosti, matematicky to tedy můžeme zapsat jako limitu (následně derivaci):

$v=\lim _{\Delta t\to 0}\left({\frac {\Delta s}{\Delta t}}\right)={\frac {ds}{dt}}$

Stejné pravidlo můžeme zavést z definice zrychlení:

$a_{p}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$, kde Δv je změna rychlosti.

$a=\lim _{\Delta t\to 0}\left({\frac {\Delta v}{\Delta t}}\right)={\frac {dv}{dt}}$

Vyvození dále použitých vzorečků

Vztahy, které jsme si nyní napsali, se nám hodí při odvozování vzorečků pro přímočarý pohyb - především pro rovnoměrně zrychlený pohyb.

Rychlost:

$v=\int a(t)dt$

$\Delta v=\int _{t_{1}}^{t_{2}}a(t)dt$

Dráha pohybu tělesa

$s=\int v(t)dt$

$\Delta s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)dt$

Jednotky

Jelikož každá fyzikální veličina má své jednotky, i v mechanice přímočarého pohybu hmotného bodu musíme veličinám přiřadit jednotky. Dráhu měříme v metrech (m), decimetrech (dm), kilometrech (km) atd. Základní jednotky dráhy jsou metry. Základními jednotkami času jsou sekundy. Z definice rychlosti vidíme, že rychlost bude mít jednotky 'metry za sekundu'. Další odvozenou veličinou je zrychlení:

Nelze pochopit (SVG (MathML lze aktivovat pomocí doplňku prohlížeče): Neplatná odpověď („Math extension cannot connect to Restbase.“) od serveru „http://localhost:6011/cs.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle [s] = m}

$[t]=s$

$[v]=ms^{-1}$

$[v]=ms^{-2}$

U rychlosti můžeme narazit také na jednotky 'kilometry za hodinu' nebo 'míle za hodinu'. První zmíněné jednotky se používají na evropském kontinentě, druhé zmíněné jednotky na americkém kontinentě. Zkratky jsou kph, mph (kilometres per hour, miles per hours) a jednotky se zapisují jako:

$[v]=kmh^{-1}$

Převod mezi metry za sekundu a kilometry za hodinu

$v=1{\frac {km}{h}}=1*{\frac {1000m}{3600s}}={\frac {1}{3,6}}{\frac {m}{s}}$

$v=1{\frac {m}{s}}=1{\frac {0,001s}{\frac {1}{3600}}}=3,6{\frac {km}{h}}$

Speciální případy

Rovnoměrný přímočarý pohyb

Rovnoměrný přímočarý pohyb

Rovnoměrný přímočarý pohyb je pohyb po přímce se stálou rychlostí. Pokud přímočarý pohyb není rovnoměrný, bývá také označován jako nerovnoměrný přímočarý pohyb (jde tedy o pohyb s proměnnou rychlostí). Pro rovnoměrný přímočarý pohyb platí následující rovnost:

$a_{t}=a_{n}=0ms^{-2}$

Kinematika

Rychlost rovnoměrného přímočarého pohybu:

Uvažujeme-li, že zrychlení je nulové, můžeme pomocí integrálů, které jsme si odvodili v předchozí kapitole, určit hodnoty velikosti rychlosti a změny velikosti rychlosti na určitém časovém úseku:

$v=\int 0dt=v_{0}$

$\Delta v=\int _{t_{1}}^{t_{2}}0dt=\left[0t+v_{0}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}=v_{0}-v_{0}=0$

Můžeme si všimnout, že rychlost se nezměnila (a to jsme předpokládali u definice přímočarého rovnoměrného pohybu). To, že se rychlost nezměnila, nám dokazuje i hodnota aktuální rychlosti hmotného bodu, která je rovna vždy počáteční rychlosti tělesa.

Dráha rovnoměrného přímočarého pohybu:

Opět stačí dosadit hodnoty, které nám vyšly u rychlosti, do vzorce, který jsme si odvodili na začátku:

$s=\int v(t)dt=\int vdt=s_{0}+vt$

$\Delta s=\int _{t_{1}}^{t^{2}}v(t)dt=vt_{2}-vt_{2}=v\Delta t$

Závěr:
Jediný vzoreček, který nám zde je užitečný, je přímo definice průměrné rychlosti (v případě tohoto pohybu je průměrná rychlost rychlostí stále aktuální):

$v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Dynamika

K dynamice rovnoměrného pohybu lze říci pouze to, že na základě 2. Newtonova zákona platí, že pokud těleso/bod o určité hmotnosti nezrychluje (nemění směr ani velikost rychlosti), poté na těleso/bod působí síly tak, že jejich výsledná hodnota je nulová (výslednice je nulový vektor), nebo na těleso žádné síly nepůsobí.

Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb

Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb je pohyb po přímce se stálým zrychlením. Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb je zvláštním případem nerovnoměrného přímočarého pohybu, kdy zrychlení je rovno konstantě: $\exists !x\in \mathbb {R} :a=x$

Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb je tedy pohyb, u kterého směr i velikost zrychlení zůstává konstantní, trajektorií je přímka nebo část přímky a velikost rychlosti se mění přímo úměrně s časem. Směr rychlosti se nemění.

Zrychlení pohybu se nemění. Má-li zrychlení stejnou orientaci (hodnotu znaménka) jako směr pohybu tělesa, pak se rychlost tělesa zvyšuje a jedná se o zrychlený pohyb. Má-li zrychlení opačnou orientaci (hodnotu znaménka) než směr pohybu tělesa, pak se rychlost tělesa snižuje a jedná se o pohyb zpomalený.

Kinematika

Rychlost rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu:
Opět platí obecné vztahy, které jsme si určili:

$v=\int a(t)dt=\int adt=v_{0}+at$

$\Delta v=\int _{t_{1}}^{t_{2}}a(t)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}adt=at_{2}-at_{1}=a\Delta t$

Oba dva odvozené vzorečky nám budou užitečné. První nám říká, že aktuální rychlost bodu je rovna jeho počáteční rychlosti plus součinu času a zrychlení daného bodu. Oproti tomu druhý vzoreček nám říká, o kolik se změnila rychlost tělesa mezi časem t₁ a časem t₂.

Dráha rovnoměrného přímočarého pohybu:
Dosaďme nyní opět do vzorce:

$s=\int v(t)dt=\int (v_{0}+at)dt=s_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$

$\Delta s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}(v_{0}+at)dt={\frac {a}{2}}\left(t_{2}^{2}-t_{1}^{2}\right)$

Závěr Odvodili jsme si základní vzorce pro práci s rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem:

$v=v_{0}+at$

$s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$

Dynamika

Síly působící při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu:

Podle 2. Newtonova pohybového zákona působí na těleso se stálým zrychlením stálá síla o velikosti:

$F=ma,a={\frac {F}{m}}$

kde m je hmotnost, a je zrychlení.

Má-li působící síla směr stejný jako je směr pohybu, pak těleso zrychluje, má-li síla směr proti pohybu, pak těleso zpomaluje.

Příklady

Rovnoměrný přímočarý pohyb

Příkladem takového pohybu může být vlak jedoucí na určité dráze konstantní rychlostí v.

- početní příklad: Modré auto jede stálou rychlostí v = 20 ms^-1, jakou rychlostí musí jet červené auto, které je o 20 metrů pozadu, aby modré auto dohodilo za 10 sekund?

Víme tedy, že rychlost automobilu č. 1 je 20 m/s, má náskok 20 metrů a pojede dalších 10 sekund, spočteme tedy celkovou dráhu, kterou auto ujede:

$s=s_{0}+vt=20+20*10m=220m$

Aby druhé auto dohodilo toto první auto, musí ujet stejnou vzdálenost, tedy platí, že:

$s=s_{0}+vt$, kde s₀ = 0 m a s = 220 m (vzdálenost, kterou musí auto ujet za deset sekund.

$v={\frac {s}{t}}={\frac {220}{10}}=22ms^{-1}$

Červené uto tedy musí jet rychlostí 22 m/S.

Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb

Příkladem rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu může být rozjíždějící se motorka nebo volný pád.

- početní příklad: Vlak vyjíždí ze stanice, konstantní síla, která působí na vlak, aby zrychloval, je rovna dvojnásobku jeho hmotnosti, která činí 50 t. Jakou dráhu ujede vlak za čas t = 20s a jakou bude mít na konci tohoto času rychlost?

Nejdříve si ze druhého Newtonova zákona zjistíme, jaká je hodnota zrychlení vlaku:

$F=2m,F=ma,a={\frac {F}{m}}={\frac {2m}{m}}=2ms^{-2}$

Když už známe hodnotu zrychlení, můžeme dopočítat obě zadané veličiny (dráhu i rychlost):

$s=s_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}=0+0t+{\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {1}{2}}at^{2}={\frac {1}{2}}2*20^{2}m=400m$

$v=v_{0}+at=0+at=2*20ms^{-1}=40ms^{-1}$

Vlak tedy za dvacet sekund svého rozjíždění ze stanice ujede 400 metrů a jeho rychlost na konci tohoto úseku bude 40 m/s.

Související články

• Posuvný pohyb
• Mechanický pohyb