Fermatovo číslo

Fermatovým číslem se v matematice rozumí takové přirozené číslo, které je rovno

$F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

pro nějaké přirozené číslo $n$. Svoje jméno tato čísla získala podle matematika Pierra de Fermata, který je zkoumal jako jeden z prvních.

Prvních devět Fermatových čísel je:

F0	=	21	+	1	=	3
F1	=	22	+	1	=	5
F2	=	24	+	1	=	17
F3	=	28	+	1	=	257
F4	=	216	+	1	=	65,537
F5	=	232	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417
F6	=	264	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617
					=	274,177 × 67,280,421,310,721
F7	=	2128	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
					=	59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F8	=	2256	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
					=	1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321

V roce 2008 byl znám prvočíselný rozklad pouze prvních dvanácti Fermatových čísel F₀ až F₁₁.

Fermatova prvočísla

Fermat věřil, že všechna Fermatova čísla jsou prvočísla (takovým číslům se pak zkráceně říká Fermatovo prvočíslo). To bylo vyvráceno v roce 1732 Leonhardem Eulerem. Euler dokázal, že dělitel čísla F_n musí mít podobu k2ⁿ⁺² + 1. Pro $n=5$ tedy stačí zkoušet dělit čísly 128k + 1 a Euler objevil, že

$F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417.\;$

V rozporu s Fermatovým očekáváním se dodnes (2008) nepodařilo objevit žádná další Fermatova prvočísla kromě F₀, F₁, F₂, F₃ a F₄, která znal už Fermat. Vzhledem k tomu, jak rychle Fermatova čísla rostou, se o Fermatových číslech pro velká n mnoho neví a pojí se k nim následující otevřené problémy:

• jsou všechna Fermatova čísla F_n pro $n>4$ složená?
• existuje nekonečně mnoho Fermatových složených čísel?
• existuje nekonečně mnoho Fermatových prvočísel?

Externí odkazy

• (anglicky) Pod číslem A000215 jsou Fermatova čísla evidována v On-line databázi celočíselných posloupností

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fermat number na anglické Wikipedii.