Kvartická rovnice

Kvartická rovnice je algebraická rovnice o jedné neznámé, kterou lze vyjádřit v obecném tvaru

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,$,

kde $a\neq 0$.

U kvartických rovnic používáme následující terminologii:

• $ax^{4}$ – kvartický člen
• $bx^{3}$ – kubický člen
• $cx^{2}$ – kvadratický člen
• $dx$ – lineární člen
• $e$ – absolutní člen

Bikvadratická rovnice

Speciálním případem kvartické rovnice je rovnice bikvadratická, která má tvar

$ax^{4}+bx^{2}+c=0\,$

Řešení bikvadratické rovnice

Bikvadratickou rovnici lze řešit pomocí substituce $z=x^{2}$, čímž získáme kvadratickou rovnici

$az^{2}+bz+c=0\,$

Řešení této kvadratické rovnice lze vyjádřit ve tvaru

$z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

Toto řešení použijeme pro získání hodnot $x$, které jsou řešením původní bikvadratické rovnice, přičemž platí

$x_{1,2}=\pm {\sqrt {z_{1}}}$

$x_{3,4}=\pm {\sqrt {z_{2}}}$

Obecné řešení kvartické rovnice

Obecné řešení kvartické rovnice lze najít analyticky jen velmi obtížně, jedná se o nejvyšší (čtvrtý) stupeň algebraické rovnice, která je řešitelná analyticky (tj. pomocí 4 základních aritmetických operací a odmocňování). Jako první nalezl řešení Ital Ludovico Ferrari někdy v 15. století, když byl žákem Girolama Cardana, nicméně existuje mnoho elegantnějších metod, jak takové rovnice řešit. Jednu z nich předložil např. Francouz René Descartes a tuto metodu bych zde rád uvedl.

Řešení spočívá v následujícím postupu:

1. Máme kvartickou rovnici

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

Vydělíme-li rovnici koeficientem $a$ kvartického členu $y^{4}$, tím získám rovnici, jejíž koeficient kvartického členu bude 1. Nově získaná rovnice bude vypadat takto:

$x^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0$

2. Použijeme substituci

$x=y-{\frac {B}{4}}\,$

Tím dostaneme jinou rovnici o jiné neznámé $y$. Mezi nezmámými $x$, $y$ však existuje vztah, takže dokážeme-li najít neznámou $y$, pak dokážeme najít i neznámou $x$. Tuto konkrétní substituci jsme zvolili proto, abychom získali jistý speciální tvar nové rovnice - tato rovnici bude mít tzv. redukovaný tvar: $y^{4}+Py^{2}+Qy+R=0$

3. Rozložíme čtyřčlen $y^{4}+Py^{2}+Qy+R=0$ na dva kvadratické trojčleny, jejichž koeficienty kvadratických členů $y^{2}$ budou mít hodnotu 1. Označme ostatní koeficienty jako jako $K$,$L$, $M$, $N$. Má tedy platit, že:

$y^{4}+Py^{2}+Qy+R=(y^{2}+Ky+L)(y^{2}+My+N)$,

a tedy z předchozího kroku plyne: $(y^{2}+Ky+L)(y^{2}+My+N)=0$

Aby rovnost platila, musí platit následující vztahy (což zjistíme po roznásobení kvadratických trojčlenů výše):

$K+M=0$ (tento vztah jsem získal tak, že jsem si uvědomil, že celkový koeficient kubického členu $y^{3}$musí být 0, abych ho mohl vypustit a získat namísto pětičlenu jen čytřčlen)

$KM+L+N=P$

$KN+LM=Q$¨

$LN=R$

4. Všimneme si, že vztah $K+M=0$ lze snadno přetvořit na $-K=M$, čehož využijeme a dosadíme výraz $-K$ do trojčlenu $y^{2}+My+N$ namísto $M$, čímž získáme rovnost

$y^{4}+Py^{2}+Qy+R=(y^{2}+Ky+L)(y^{2}-Ky+N)$

5. Roznásobíme nově vzniklé trojčleny a získáme následující rovnosti:

$L+N-K^{2}=P$

$KN-KL=Q$

$LN=R$

První dva z těchto vztahů ještě vhodně upravím:

$L+N=P+K^{2}$

$L-N=-{\frac {Q}{K}}\,$

6. Zaměříme se nyní na dvojici výrazů $L$,$N$. Podařilo se mi vyjádřit jejich součet $L+N$, jejich rozdíl $L-N$ a jejich součin $LN$. O součtu, součinu a rozdílu dvou libovolných hodnot platí vztah:

$(A+B)^{2}-(A-B)^{2}=4AB$

Úplně stejný vztah nyní uplatním na výrazy $L$,$N$:

$(L+N)^{2}-(L-N)^{2}=4LN$

Místo součtu, součinu a rozdílu hodnot $L$,$N$ ale dosadím jejich jiné vyjádření, které jsem získal v 5. kroku.

$(P+K^{2})^{2}-(-{\frac {Q}{K}}\,)^{2}=4R$

7. Uvědomíme si, že hodnoty $P$, $Q$, $R$ jsou parametry, a tedy konkrétní číselné hodnoty, které známe. Proto se jedná o rovnici s neznámou $K$. Rovnici postupně upravím, až dostanu tvar:

$K^{6}+2PK^{4}+K^{2}(P^{2}-4R)-Q^{2}=0$

8. Všimneme si, že v rovnice obsahuje pouze sudé mocniny neznámé $K$. Proto položíme substituci $S=K^{2}$. Tím získám kubickou rovnici, kterou už není tak těžké vyřešit.

9. Zjistili jsme neznámou $S$ a tedy i $K$. Po dosazení číselné hodnoty $K$ do vztahů z 5. kroku snadno zjistíme hodnoty $L$, $N$. Tím jsme nalezli konkrétní číselné koeficienty obou trojčlenů.

10. Nyní se vrátíme k rovnosti z 3. kroku:

$(y^{2}+Ky+L)(y^{2}-Ky+N)=0$.

Kdy je součin trojčlenů roven nule? Právě tehdy, je-li aspoň jeden trojčlen roven 0. Z toho plyne, že kořeny $y_{1,2}$ získáme vyřešením kvadratické rovnice $y^{2}+Ky+L=0$, zatímco kořeny $y_{3,4}$ vyřešením kvadratické rovnice $y^{2}-Ky+N=0$.

11. Známe-li kořeny $y_{1,2,3,4}$, pomocí vztahu z 2. kroku již snadno nalezneme kořeny původní rovnice $x_{1,2,3,4}$.

Poznámka - Řešení by šlo jistě vyjádřit i pomocí původních koeficientů $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, ale bylo by tak dlouhé, složité a nepraktické, že ho zde neuvedu, stejně by nemělo velký praktický význam. Analytické řešení je sice přesné, ale někdy je výhodné hádat některé kořeny nebo se pokusit z hlavy rozložit aspoň částečně pětičlen, je-li řešení vidět hned a tím zredukovat rovnici na nižší stupně.

Např. rovnici $x^{4}+6x^{3}-x-6=0$ lze snadno rozložit na $(x+6)(x^{3}-1)=0$, popř. ještě dál na: $(x+6)(x-1)(x^{2}+x+1)=0$, a tak uhodnout z hlavy kořeny $x_{1}=-6$, $x_{2}=1$.

Související články

• Trinomická rovnice

Externí odkazy

• Quartic Equation (anglicky)