Deformace: Porovnání verzí

Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Odebráno 9 bajtů ,  před 12 lety
m
formát
m (typo)
m (formát)
 
Zůstávají-li během deformace bodu původně ležící v jedné rovině ve stejné rovině i po deformaci, označuje se taková deformace jako '''rovinná'''.
 
 
[[síla|Síly]] působící na těleso lze rozlišovat podle druhu [[napětí]], které v tělese vyvolávají na [[tahová síla|tahové]], [[tlaková síla|tlakové]], [[smyková síla|smykové]], [[ohybová síla|ohybové]] nebo [[torzní síla|torzní]]. Tyto síly bývají také označovány jako '''deformační síly'''.
== Deformace v mechanice kontinua ==
V [[mechanika kontinua|mechanice kontinua]] lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu [[kontinuum|kontinua]].
 
 
V [[čas]]e <math>t=0</math> můžeme popsat polohu částic kontinua jako <math>y_j=y_j(x_i,0)=x_j</math>. V čase <math>\Delta t</math> pak bude poloha odpovídajících částic určena jako <math>y_j=y_j(x_i,\Delta t)</math>. Lze definovat '''[[vektor]] posunutí''' <math>u_i</math> jako
:<math>y_j=x_j + u_j(x_i)</math>
Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také [[posunutí]] a [[rotace|otáčení]] kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám [[vzdálenost]]í částic kontinua.
 
 
Uvažujeme-li libovolný bod <math>x_j</math> kontinua a v jeho okolí bod <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math>, pak na konci deformačního pohybu se bod z <math>x_j</math> přesune do bodu <math>y_j</math> a bod <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math> do bodu <math>y_j+\mathrm{d}y_j</math>. Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu <math>x_j</math> jako <math>u_j</math> a vektor posunutí odpovídající bodu <math>x_j+\mathrm{d}x_j</math> jako <math>u_j+\mathrm{d}u_j</math>, a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu <math>x_j</math>, můžeme použít zápis
 
Tenzor velkých deformací je [[funkce (matematika)|funkcí]] [[souřadnice|souřadnic]], tzn. <math>\varepsilon_{lk}=\varepsilon_{lk}(x_i)</math>, a je to [[symetrický tenzor]] druhého řádu.
 
 
=== Tenzor malých deformací ===
Pro malé deformace lze tedy platí
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j-\mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2e_{lk}\mathrm{d}x_l\mathrm{d}x_k \,</math>
 
 
Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem
a platí
:<math>\mathrm{d}y_j\mathrm{d}y_j - \mathrm{d}x_j\mathrm{d}x_j = 2\overline{e}_{lk}\mathrm{d}y_l\mathrm{d}y_k</math>
 
 
Pro malé deformace jsou velikosti posunů <math>\mathrm{d}x_i</math> v nedeformovaném stavu a jim odpovídající <math>\mathrm{d}y_j</math> v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací <math>e_{ij}</math> a <math>\overline{e}_{ij}</math> můžeme považovat za ekvivalentní.
 
 
Často se používá rozklad tenzoru <math>e_{ij}</math> na [[izotropní tenzor|izotropní část]] a [[deviátor]]
 
Složka tenzoru <math>e_{11}</math> malých deformací tedy odpovídá [[relativní prodloužení|relativní změně délky]] elementu, který byl původně [[rovnoběžky|rovnoběžný]] s osou <math>x_1</math> [[kartézská soustava souřadnic|kartézské soustavy souřadnic]]. Podobně složky <math>e_{22}</math> a <math>e_{33}</math> přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami <math>x_2</math> a <math>x_3</math>.
 
 
Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace v [[rovina|rovině]] dané kartézskými osami <math>x_1, x_2</math>. Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky <math>e_{11}, e_{22}, e_{12}=e_{21}</math>. Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. <math>e_{11}=e_{22}=0, e_{12}\ne 0</math>, pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou <math>x_1</math>, tzn. lze jej před deformací popsat [[vektor]]em <math>(\mathrm{d}x_1,0)</math>, lze po deformaci popsat vektorem <math>\left(\mathrm{d}x_1, \frac{\part u_2}{\part x_1}\mathrm{d}x_1\right)</math>, kde <math>u_2</math> je složka vektoru posunutí podél osy <math>x_2</math>.
Pro úhel <math>\alpha_2</math> mezi vektory <math>(0,\mathrm{d}x_2)</math> a <math>\left(\frac{\part u_1}{\part x_2}\mathrm{d}x_2,\mathrm{d}x_2\right)</math> platí
:<math>\operatorname{tg}\,\alpha_2 = \frac{\part u_1}{\part x_2}</math>
 
 
Pro malé deformace lze použít [[aproximace#Přibližné výrazy goniometrických funkcí|aproximaci]] <math>\operatorname{tg}\,\alpha_i \approx \alpha_i</math>, což umožňuje psát

Navigační menu