Spojitá funkce: Porovnání verzí
m robot změnil: bs:Neprekidna funkcija |
m robot přidal: la:Continuitas (mathematica); kosmetické úpravy |
||
Řádek 11: | Řádek 11: | ||
Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na [[množina|množině]] či [[interval (matematika)|intervalu]] (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o ''spojité funkci'' se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru. |
Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na [[množina|množině]] či [[interval (matematika)|intervalu]] (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o ''spojité funkci'' se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru. |
||
==Cauchyho definice== |
== Cauchyho definice == |
||
O funkci <math>f(x)</math> řekneme, že je spojitá v [[bod|bodě]] ''a'', pokud ke každému (libovolně malému) [[číslo|číslu]] <math>\varepsilon > 0</math> existuje takové číslo <math>\delta > 0</math>, že pro všechna ''x'', pro něž platí <math>|x-a|<\delta</math>, platí také |
O funkci <math>f(x)</math> řekneme, že je spojitá v [[bod|bodě]] ''a'', pokud ke každému (libovolně malému) [[číslo|číslu]] <math>\varepsilon > 0</math> existuje takové číslo <math>\delta > 0</math>, že pro všechna ''x'', pro něž platí <math>|x-a|<\delta</math>, platí také |
||
:<math>|f(x) - f(a)| < \varepsilon</math>. |
:<math>|f(x) - f(a)| < \varepsilon</math>. |
||
Řádek 19: | Řádek 19: | ||
(resp. levého okolí) bodu ''a'' je <math>|f(x)-f(a)|<\varepsilon</math>. Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva. |
(resp. levého okolí) bodu ''a'' je <math>|f(x)-f(a)|<\varepsilon</math>. Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva. |
||
Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci ''n'' proměnných. O funkci <math>f(x_i)</math>, kde <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> jsou proměnné funkce, |
Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci ''n'' proměnných. O funkci <math>f(x_i)</math>, kde <math>x_1, x_2, ..., x_n</math> jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě <math>A=[a_1,a_2,...,a_n]</math>, pokud ke každému (libovolně malému) číslu <math>\varepsilon>0</math> existuje takové číslo <math>\delta>0</math>, že pro všechny body <math>X=[x_1,x_2,...,x_n]</math> z okolí bodu ''A'', tzn. pro body jejichž [[vzdálenost]] splňuje podmínku <math>d(A,X)<\delta</math>, platí |
||
:<math>|f(x_1,x_2,\ldots,x_n) - f(a_1,a_2,\ldots,a_n)|<\varepsilon</math>. |
:<math>|f(x_1,x_2,\ldots,x_n) - f(a_1,a_2,\ldots,a_n)|<\varepsilon</math>. |
||
==Heineho definice== |
== Heineho definice == |
||
Nechť <math>x_0</math> je hromadným bodem <math>D(f)</math>. |
Nechť <math>x_0</math> je hromadným bodem <math>D(f)</math>. Funkce <math>f</math> je spojitá v bodě <math>x_0</math> právě tehdy když <math>\forall \lbrace x_n \rbrace , x_n \in D(f), x_n \rightarrow x_0</math> platí <math>f(x_n) \rightarrow f(x_0)</math>. |
||
==Spojitost komplexní funkce== |
== Spojitost komplexní funkce == |
||
O [[komplexní funkce|komplexní funkci]] <math>f(z)</math> říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě <math>z_0</math> [[komplexní rovina|komplexní roviny]] platí |
O [[komplexní funkce|komplexní funkci]] <math>f(z)</math> říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě <math>z_0</math> [[komplexní rovina|komplexní roviny]] platí |
||
:<math>\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)</math>. |
:<math>\lim_{z \rightarrow z_0} f(z) = f(z_0)</math>. |
||
Řádek 31: | Řádek 31: | ||
Je-li funkce <math>f(z)</math> spojitá v každém bodě určité oblasti <math>\mathbf{G}</math>, pak říkáme, že je ''spojitá v <math>\mathbf{G}</math>''. |
Je-li funkce <math>f(z)</math> spojitá v každém bodě určité oblasti <math>\mathbf{G}</math>, pak říkáme, že je ''spojitá v <math>\mathbf{G}</math>''. |
||
==Bod nespojitosti== |
== Bod nespojitosti == |
||
Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako '''body nespojitosti'''. |
Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako '''body nespojitosti'''. |
||
Řádek 45: | Řádek 45: | ||
Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod <math>b</math>. Bod <math>e</math> je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod <math>c</math> je odstranitelnou nespojitostí funkce ''f(x)''. Funkce je po částech spojitá na intervalu <math>\langle a,d\rangle</math>. |
Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod <math>b</math>. Bod <math>e</math> je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod <math>c</math> je odstranitelnou nespojitostí funkce ''f(x)''. Funkce je po částech spojitá na intervalu <math>\langle a,d\rangle</math>. |
||
==Stejnoměrná spojitost== |
== Stejnoměrná spojitost == |
||
Mějme funkci <math>f(x)</math> na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, pro niž k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> existuje <math>\delta>0</math> takové, že pro libovolné dva body <math>x_1, x_2</math> z intervalu <math>\langle a,b\rangle</math> splňující <math>|x_1-x_2|<\delta</math> platí <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math>, pak říkáme, že funkce <math>f(x)</math> je [[stejnoměrně spojitá funkce|stejnoměrně spojitá]] na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>. |
Mějme funkci <math>f(x)</math> na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, pro niž k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> existuje <math>\delta>0</math> takové, že pro libovolné dva body <math>x_1, x_2</math> z intervalu <math>\langle a,b\rangle</math> splňující <math>|x_1-x_2|<\delta</math> platí <math>|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon</math>, pak říkáme, že funkce <math>f(x)</math> je [[stejnoměrně spojitá funkce|stejnoměrně spojitá]] na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>. |
||
===Weierstrassova věta=== |
=== Weierstrassova věta === |
||
Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math> lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v <math>\langle a,b\rangle</math> [[posloupnost|posloupností]] [[polynom|polynomů]], tzn. k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> existuje polynom <math>P(x)</math> takový, že <math>|f(x)-P(x)|<\varepsilon</math> pro všechna <math>x \in \langle a,b\rangle</math>. |
Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math> lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v <math>\langle a,b\rangle</math> [[posloupnost|posloupností]] [[polynom|polynomů]], tzn. k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> existuje polynom <math>P(x)</math> takový, že <math>|f(x)-P(x)|<\varepsilon</math> pro všechna <math>x \in \langle a,b\rangle</math>. |
||
===Absolutně spojitá funkce=== |
=== Absolutně spojitá funkce === |
||
Funkci <math>f(x)</math> označíme jako [[absolutně spojitá funkce|absolutně spojitou]] na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, jestliže k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> existuje takové <math>\delta>0</math>, že pro každý systém intervalů <math>\langle a_1,b_1\rangle, \langle a_2,b_2\rangle, \ldots, \langle a_n,b_n\rangle,</math> pro který je <math>a \leq a_1 \leq b_1 \leq a_2 \leq b_2 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq b</math>, a <math>\sum_{i=1}^n (b_i-a_i) < \delta</math> platí <math>\sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<\varepsilon</math>. |
Funkci <math>f(x)</math> označíme jako [[absolutně spojitá funkce|absolutně spojitou]] na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, jestliže k libovolnému <math>\varepsilon>0</math> existuje takové <math>\delta>0</math>, že pro každý systém intervalů <math>\langle a_1,b_1\rangle, \langle a_2,b_2\rangle, \ldots, \langle a_n,b_n\rangle,</math> pro který je <math>a \leq a_1 \leq b_1 \leq a_2 \leq b_2 \leq \cdots \leq a_n \leq b_n \leq b</math>, a <math>\sum_{i=1}^n (b_i-a_i) < \delta</math> platí <math>\sum_{i=1}^n |f(b_i)-f(a_i)|<\varepsilon</math>. |
||
Je-li funkce <math>f(x)</math> absolutně spojitá na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu [[Totální variace|konečnou variaci]]. |
Je-li funkce <math>f(x)</math> absolutně spojitá na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>, pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu [[Totální variace|konečnou variaci]]. |
||
==Příklady== |
== Příklady == |
||
[[Soubor:Floor function.svg|thumb|Funkce ''[[dolní celá část]]'', nespojitá v každém celém čísle]] |
[[Soubor:Floor function.svg|thumb|Funkce ''[[dolní celá část]]'', nespojitá v každém celém čísle]] |
||
*Všechny [[polynomická funkce|polynomické funkce]], [[exponenciální funkce]], [[sinus]] a [[kosinus]] a funkce [[absolutní hodnota]] jsou spojité v celém oboru reálných čísel. |
*Všechny [[polynomická funkce|polynomické funkce]], [[exponenciální funkce]], [[sinus]] a [[kosinus]] a funkce [[absolutní hodnota]] jsou spojité v celém oboru reálných čísel. |
||
Řádek 65: | Řádek 65: | ||
*Extrémním příkladem je tzv. [[Dirichletova funkce]], která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá. |
*Extrémním příkladem je tzv. [[Dirichletova funkce]], která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá. |
||
==Vlastnosti== |
== Vlastnosti == |
||
* Má-li funkce <math>f(x)</math> v bodě <math>a</math> '''konečnou''' [[derivace|derivaci]], pak je v bodě ''a'' také spojitá. |
* Má-li funkce <math>f(x)</math> v bodě <math>a</math> '''konečnou''' [[derivace|derivaci]], pak je v bodě ''a'' také spojitá. |
||
* Pokud je funkce <math>f(x)</math> spojitá v bodě <math>a</math> a funkce <math>g(y)</math> spojitá v bodě <math>b = f(a)</math>, pak [[složená funkce]] <math>g(f(x))</math> je spojitá v bodě <math>a</math>. |
* Pokud je funkce <math>f(x)</math> spojitá v bodě <math>a</math> a funkce <math>g(y)</math> spojitá v bodě <math>b = f(a)</math>, pak [[složená funkce]] <math>g(f(x))</math> je spojitá v bodě <math>a</math>. |
||
Řádek 104: | Řádek 104: | ||
[[ka:უწყვეტობა]] |
[[ka:უწყვეტობა]] |
||
[[ko:연속함수]] |
[[ko:연속함수]] |
||
[[la:Continuitas (mathematica)]] |
|||
[[lt:Tolydi funkcija]] |
[[lt:Tolydi funkcija]] |
||
[[mk:Непрекинатост на функција]] |
[[mk:Непрекинатост на функција]] |
Verze z 21. 10. 2009, 06:19
Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.
Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, primitivní funkce apod.
Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v hromadném bodě definičního oboru x0 definovat následujícími dvěma podmínkami:
- Funkce je v bodě x0 definována (x0 patří do definičního oboru).
- V bodě x0 existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:
- .
Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.
Cauchyho definice
O funkci řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu existuje takové číslo , že pro všechna x, pro něž platí , platí také
- .
Velikost čísla může záviset nejen na volbě čísla , ale i na volbě bodu a.
Funkci označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému existuje takové , že pro všechna (resp. ), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu a je . Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.
Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci , kde jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě , pokud ke každému (libovolně malému) číslu existuje takové číslo , že pro všechny body z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku , platí
- .
Heineho definice
Nechť je hromadným bodem . Funkce je spojitá v bodě právě tehdy když platí .
Spojitost komplexní funkce
O komplexní funkci říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě komplexní roviny platí
- .
Je-li funkce spojitá v každém bodě určité oblasti , pak říkáme, že je spojitá v .
Bod nespojitosti
Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti.
Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod , ve kterém má funkce limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. . Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. , nazýváme skokem funkce v bodě .
Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod , v němž neexistuje alespoň jedna z (konečných) jednostranných limit.
Pokud v bodě existuje konečná limita , avšak funkce není v bodě a definována, nebo je , pak bod označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce .
Funkci, která je definována na intervalu , označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.
Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod . Bod je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu .
Stejnoměrná spojitost
Mějme funkci na intervalu , pro niž k libovolnému existuje takové, že pro libovolné dva body z intervalu splňující platí , pak říkáme, že funkce je stejnoměrně spojitá na intervalu .
Weierstrassova věta
Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v posloupností polynomů, tzn. k libovolnému existuje polynom takový, že pro všechna .
Absolutně spojitá funkce
Funkci označíme jako absolutně spojitou na intervalu , jestliže k libovolnému existuje takové , že pro každý systém intervalů pro který je , a platí .
Je-li funkce absolutně spojitá na intervalu , pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.
Příklady
- Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
- Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla).
- Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0:
- I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1.
- Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle.
- Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.
Vlastnosti
- Má-li funkce v bodě konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
- Pokud je funkce spojitá v bodě a funkce spojitá v bodě , pak složená funkce je spojitá v bodě .
- Je-li funkce spojitá na , pak na existuje alespoň jeden bod takový, že pro všechna Jedná se o maximum funkce na intervalu Současně také existuje alespoň jeden bod takový, že pro všechna . Jedná se o minimum funkce na intervalu . Funkce spojitá na intervalu je tedy na tomto intervalu také ohraničená.