Neutrální prvek

V matematice je neutrální prvek množiny S s binární operací takový prvek, který nechává ostatní prvky na místě.

Formální definice

Buď S množina a * operace na S. Pak prvek e z S se nazývá levý neutrální, platí -li e * a = a pro všechny a z S. Prvek e se nazývá pravý neutrální, platí-li a * e = a pro všechna a z S. Pokud je e pravý i levý neutrální, nazývá se jednoduše neutrální, někdy též identita.

Příklady

• Pokud (S,*) jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrální prvek.
• Pokud (S,*) jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
• Pokud (S,*) jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
• Pokud (S,*) jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
• Pokud (S,*) je množina všech zobrazení z množiny M do sebe sama a * je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná id(x) = x pro každé x z M.
• Pokud má S pouze dva prvky e a f a operace * je definována tak, že e * e = f * e = e a f * f = e * f = f, jsou oba prvky e a f levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, (S,*) může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině S levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový. Důkaz: Buď l levý neutrální a r pravý neutrální, pak l = l * r = r. Především tedy v množině může být jen jeden neutrální prvek.

Související články

• Inverzní prvek
• Grupa
• Monoid