Spojitá funkce: Porovnání verzí
Řádek 66: | Řádek 66: | ||
==Vlastnosti== |
==Vlastnosti== |
||
* Má-li funkce <math>f(x)</math> v bodě |
* Má-li funkce <math>f(x)</math> v bodě <math>a</math> '''konečnou''' [[derivace|derivaci]], pak je v bodě ''a'' také spojitá. |
||
* Pokud je funkce <math>f(x)</math> spojitá v bodě |
* Pokud je funkce <math>f(x)</math> spojitá v bodě <math>a</math> a funkce <math>g(y)</math> spojitá v bodě <math>b = f(a)</math>, pak [[složená funkce]] <math>g(f(x))</math> je spojitá v bodě <math>a</math>. |
||
* Je-li funkce <math>f(x)</math> spojitá na <math>\langle a,b\rangle</math>, pak na <math>\langle a,b\rangle</math> existuje alespoň jeden bod <math>x_1 \in \langle a,b\rangle</math> takový, že <math>f(x_1) \ge f(x)</math> pro všechna <math>x \in \langle a,b\rangle</math>. Jedná se o [[maximum]] funkce <math>f(x)</math> na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>. Současně také existuje alespoň jeden bod <math>x_2 \in \langle a,b\rangle</math> takový, že <math>f(x_2) \leq f(x)</math> pro všechna <math>x \in\langle a,b\rangle</math>. Jedná se o [[minimum]] funkce <math>f(x)</math> na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>. Funkce spojitá na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math> je tedy na tomto intervalu také [[ohraničená funkce|ohraničená]]. |
* Je-li funkce <math>f(x)</math> spojitá na <math>\langle a,b\rangle</math>, pak na <math>\langle a,b\rangle</math> existuje alespoň jeden bod <math>x_1 \in \langle a,b\rangle</math> takový, že <math>f(x_1) \ge f(x)</math> pro všechna <math>x \in \langle a,b\rangle</math>. Jedná se o [[maximum]] funkce <math>f(x)</math> na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>. Současně také existuje alespoň jeden bod <math>x_2 \in \langle a,b\rangle</math> takový, že <math>f(x_2) \leq f(x)</math> pro všechna <math>x \in\langle a,b\rangle</math>. Jedná se o [[minimum]] funkce <math>f(x)</math> na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math>. Funkce spojitá na intervalu <math>\langle a,b\rangle</math> je tedy na tomto intervalu také [[ohraničená funkce|ohraničená]]. |
||
Verze z 10. 12. 2008, 01:18
Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.
Spojité funkce jsou v praxi mnohem častější než nespojité, např. v klasické fyzice jsou prakticky všechny používané funkce spojité. Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, integrál apod.
Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v bodě x0 definovat následujícími dvěma podmínkami:
- Funkce je v bodě x0 definována (x0 patří do definičního oboru).
- V bodě x0 existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:
- .
Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.
Cauchyho definice
O funkci řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu existuje takové číslo , že pro všechna x, pro něž platí , platí také
- .
Velikost čísla může záviset na volbě čísla .
Funkci označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému existuje takové , že pro všechna (resp. ), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu a je . Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.
Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci , kde jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě , pokud ke každému (libovolně malému) číslu existuje takové číslo , že pro všechny body z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku , platí
- .
Heineho definice
Nechť je hromadným bodem . Funkce je spojitá v bodě právě tehdy když platí .
Spojitost komplexní funkce
O komplexní funkci říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě komplexní roviny platí
Je-li funkce spojitá v každém bodě určité oblasti , pak říkáme, že je spojitá v .
Bod nespojitosti
Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti.
Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod , ve kterém má funkce limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. . Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. , nazýváme skokem funkce v bodě .
Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod , v němž neexistuje alespoň jedna z (konečných) jednostranných limit.
Pokud v bodě existuje konečná limita , avšak funkce není v bodě a definována, nebo je , pak bod označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce .
Funkci, která je definována na intervalu , označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.
Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod . Bod je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu .
Stejnoměrná spojitost
Mějme funkci na intervalu , pro niž k libovolnému existuje takové, že pro libovolné dva body z intervalu splňující platí , pak říkáme, že funkce je stejnoměrně spojitá na intervalu .
Weierstrassova věta
Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v posloupností polynomů, tzn. k libovolnému existuje polynom takový, že pro všechna .
Absolutně spojitá funkce
Funkci označíme jako absolutně spojitou na intervalu , jestliže k libovolnému existuje takové , že pro každý systém intervalů pro který je , a platí .
Je-li funkce absolutně spojitá na intervalu , pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.
Příklady
- Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
- Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla).
- Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0:
- I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1.
- Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle.
- Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.
Vlastnosti
- Má-li funkce v bodě konečnou derivaci, pak je v bodě a také spojitá.
- Pokud je funkce spojitá v bodě a funkce spojitá v bodě , pak složená funkce je spojitá v bodě .
- Je-li funkce spojitá na , pak na existuje alespoň jeden bod takový, že pro všechna . Jedná se o maximum funkce na intervalu . Současně také existuje alespoň jeden bod takový, že pro všechna . Jedná se o minimum funkce na intervalu . Funkce spojitá na intervalu je tedy na tomto intervalu také ohraničená.