Algebraické číslo: Porovnání verzí
pomocí pravítka a kruřítka lze zkonstruovat pouze algebraická čísla sudého stupně (viz duplikaci krychle) |
m oprava sudé -> mocnina 2 |
||
| Řádek 1: | Řádek 1: | ||
'''Algebraické číslo''' je každé [[komplexní číslo]], které je kořenem nějakého [[polynom]]u s [[racionální číslo|racionálními]] koeficienty. Nejmenší stupeň [[polynom]]u, jehož je dané algebraické číslo kořenem, se nazývá stupeň tohoto algebraického čísla. Každé [[racionální číslo]] je algebraické. [[Iracionální číslo]] <math>\sqrt 2</math> je algebraické číslo, neboť je řešením rovnice <math>x^2-2=0</math>. Naopak [[Ludolfovo číslo]] <math>\pi</math> algebraické není, což dokázal roku [[1882]] [[Ferdinand von Lindemann]]. Taková čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají [[transcendentní číslo|transcendentní]]. Lze ukázat, že v jistém smyslu většina iracionálních čísel je transcendentních. |
'''Algebraické číslo''' je každé [[komplexní číslo]], které je kořenem nějakého [[polynom]]u s [[racionální číslo|racionálními]] koeficienty. Nejmenší stupeň [[polynom]]u, jehož je dané algebraické číslo kořenem, se nazývá stupeň tohoto algebraického čísla. Každé [[racionální číslo]] je algebraické. [[Iracionální číslo]] <math>\sqrt 2</math> je algebraické číslo, neboť je řešením rovnice <math>x^2-2=0</math>. Naopak [[Ludolfovo číslo]] <math>\pi</math> algebraické není, což dokázal roku [[1882]] [[Ferdinand von Lindemann]]. Taková čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají [[transcendentní číslo|transcendentní]]. Lze ukázat, že v jistém smyslu většina iracionálních čísel je transcendentních. |
||
Z poznatků [[algebra|algebry]] a [[geometrie]] plyne, že pomocí kružítka a pravítka (bez stupnice) lze sestrojit právě a jen ty úsečky, jejichž délky jsou algebraická čísla |
Z poznatků [[algebra|algebry]] a [[geometrie]] plyne, že pomocí kružítka a pravítka (bez stupnice) lze sestrojit právě a jen ty úsečky, jejichž délky jsou algebraická čísla stupně mocniny dvou. Z toho plyne neřešitelnost některých geometrických úloh jako je [[kvadratura kruhu]], [[trisekce úhlu]] či [[duplikace krychle]]. |
||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
||
Verze z 15. 11. 2008, 00:00
Algebraické číslo je každé komplexní číslo, které je kořenem nějakého polynomu s racionálními koeficienty. Nejmenší stupeň polynomu, jehož je dané algebraické číslo kořenem, se nazývá stupeň tohoto algebraického čísla. Každé racionální číslo je algebraické. Iracionální číslo je algebraické číslo, neboť je řešením rovnice . Naopak Ludolfovo číslo algebraické není, což dokázal roku 1882 Ferdinand von Lindemann. Taková čísla, která nejsou kořenem žádného polynomu s racionálními koeficienty, se nazývají transcendentní. Lze ukázat, že v jistém smyslu většina iracionálních čísel je transcendentních.
Z poznatků algebry a geometrie plyne, že pomocí kružítka a pravítka (bez stupnice) lze sestrojit právě a jen ty úsečky, jejichž délky jsou algebraická čísla stupně mocniny dvou. Z toho plyne neřešitelnost některých geometrických úloh jako je kvadratura kruhu, trisekce úhlu či duplikace krychle.
Vlastnosti
- Součet, rozdíl, součin a podíl algebraických čísel je opět algebraické číslo, všechna algebraická čísla tedy tvoří těleso.
- Kořeny polynomu, ve kterém jsou koeficienty algebraická čísla, jsou opět algebraická čísla.
Externí odkazy
- Algebraické číslo v encyklopedii MathWorld (anglicky)