Husté uspořádání: Porovnání verzí
m {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy |
Funkce návrhy odkazů: Přidány 2 odkazy. značky: první editace editace z Vizuálního editoru editace z mobilu editace z mobilního webu Editační tipy Doporučeno: Přidaný odkaz |
||
| Řádek 3: | Řádek 3: | ||
== Definice == |
== Definice == |
||
Řekneme, že [[ostré uspořádání|ostré]] [[lineární uspořádání]] R na množině A je '''husté''', pokud mezi každé dva různé prvky množiny A lze vložit jiný její prvek |
Řekneme, že [[ostré uspořádání|ostré]] [[lineární uspořádání]] R na [[Množina|množině]] A je '''husté''', pokud mezi každé dva různé prvky množiny A lze vložit jiný její prvek |
||
<math> ( \forall x,y \isin A) ( \exist z \isin A) ( x <_R z <_R y) \,\! </math> |
<math> ( \forall x,y \isin A) ( \exist z \isin A) ( x <_R z <_R y) \,\! </math> |
||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
||
Snadno se dá ověřit, že mezi každými dvěma různými prvky hustě uspořádané množiny leží nekonečně mnoho jejích prvků.<br /> |
Snadno se dá ověřit, že mezi každými dvěma různými prvky hustě [[Uspořádaná množina|uspořádané množiny]] leží nekonečně mnoho jejích prvků.<br /> |
||
Budu-li uvažovat o běžném uspořádání čísel podle velikosti relací <math> < \,\! </math>, pak |
Budu-li uvažovat o běžném uspořádání čísel podle velikosti relací <math> < \,\! </math>, pak |
||
* množina <math> \mathbb{R} \,\! </math> všech [[Reálné číslo|reálných čísel]] je hustě uspořádaná |
* množina <math> \mathbb{R} \,\! </math> všech [[Reálné číslo|reálných čísel]] je hustě uspořádaná |
||
Aktuální verze z 3. 9. 2022, 14:21
Husté uspořádání je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání.
Motivací k zavedení tohoto pojmu je zobecnění vlastností množiny racionálních čísel při běžném uspořádání podle velikosti.
Definice[editovat | editovat zdroj]
Řekneme, že ostré lineární uspořádání R na množině A je husté, pokud mezi každé dva různé prvky množiny A lze vložit jiný její prvek
Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]
Snadno se dá ověřit, že mezi každými dvěma různými prvky hustě uspořádané množiny leží nekonečně mnoho jejích prvků.
Budu-li uvažovat o běžném uspořádání čísel podle velikosti relací , pak
- množina všech reálných čísel je hustě uspořádaná
- každý interval na množině reálných čísel je hustě uspořádaný
- množina všech racionálních čísel je hustě uspořádaná, stejně jako každý její interval
- množina přirozených čísel není hustě uspořádaná podle velikosti - například mezi 1 a 2 neexistuje žádné další přirozené číslo
Zajímavé je, že pro spočetné množiny lze při zkoumání vlastností hustých uspořádání vystačit s , jak ukazuje následující věta, vyslovená a dokázaná Georgem Cantorem:
Každá hustě uspořádaná spočetná množina bez nejmenšího a největšího prvku je izomorfní s .