Snellův zákon: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 5. 1. 2008, 21:41

Snellův zákon patří k základním zákonům popisujícím šíření vlnění, které přechází (tzv. lomem) z jednoho prostředí do jiného prostředí.

Je důležitou součástí geometrické optiky, kde popisuje lom paprsku světla a obecněji elektromagnetického záření na rovinném rozhraní.

Nese jméno jednoho z objevitelů, holandského matematika W. van Snella.

Formulace zákona

Uvažujme dvě různá prostředí, jejichž rozhraní je rovinné. Jsou-li indexy lomu těchto dvou prostředí n₁ resp. n₂, a označíme-li úhly dopadajícího resp. lomeného svazku α₁ resp. α₂ (měřeno ke kolmici rozhraní), pak podle Snellova zákona platí

n_{1}\sin \alpha _{1}=n_{2}\sin \alpha _{2}

,

nebo také v jiném tvaru (v₁ a v₂ jsou rychlosti šíření vlnění v daném prostředí)

{\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}

.

Úhly se vždy měří od normály, tj. při kolmém dopadu je $\alpha _{1}=\alpha _{2}=0$ . Paprsky se šíří vždy přímočaře.

Odvození

Odvození Snellova zákona lze provést pomocí dopadu rovinné vlny na rovinné rozhraní dvou prostředí.

V místě dopadajícího paprsku vlnění vztyčíme kolmici, tzv. kolmici dopadu (obecně jde o normálu k ploše rozhraní). Úhel mezi kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem se nazývá úhel dopadu. Rovina, která je určena kolmicí dopadu a paprskem dopadajícího vlnění, se nazývá rovina dopadu.

Z obrázku je vidět, že vlnění, které dopadá z prostředí 1 na rozhraní s prostředím 2 pod úhlem dopadu $\alpha _{1}$ , dospěje nejdříve do bodu $A$ a postupně do dalších bodů až po bod $C$ . Tyto body se podle Huygensova principu stávají zdroji elementárních vlnění, které se šíří do prostředí 2. Dochází k lomu vlnění. Vlnění, které se v prostředí 1 šířilo fázovou rychlostí $v_{1}$ , se bude v prostředí 2 šířit fázovou rychlostí $v_{2}$ , která je obecně různá od rychlosti $v_{1}$ a závisí na vlastnostech prostředí, v němž se vlnění šíří. Čelo dopadající rovinné vlny (tedy vlnoplocha) je představováno úsečkou $AB$ , čelo lomené vlny je představováno úsečkou $CD$ . Pro poměr sinů úhlu dopadu $\alpha _{1}$ a lomu $\alpha _{2}$ platí podle obrázku vztah

{\frac {\sin \alpha _{1}}{\sin \alpha _{2}}}={\frac {\frac {|BC|}{|AC|}}{\frac {|AD|}{|AC|}}}={\frac {|BC|}{|AD|}}={\frac {v_{1}t}{v_{2}t}}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}=n_{21}

,

kde $|...|$ označuje délku úsečky, $v_{1}$ a $v_{2}$ jsou fázové rychlosti vlnění v prostředí 1 a 2, $v_{1}t$ je vzdálenost, kterou vlnění urazí v prostředí 1 za čas $t$ a $v_{2}t$ je vzdálenost, kterou vlnění urazí za čas $t$ v prostředí 2, $n_{1}$ a $n_{2}$ jsou absolutní indexy lomu v prostředí 1 a 2 a $n_{21}$ je relativní index lomu.

Úhel $\alpha _{2}$ se nazývá úhel lomu. Rovina určená kolmicí dopadu a lomeným paprskem se nazývá rovina lomu. Podle Huygensova principu splývá rovina lomu s rovinou dopadu.

Slovně lze Snellův zákon formulovat tak, že

Poměr sinů úhlu dopadu a lomu je pro určitá dvě prostředí stálý a rovný poměru velikosti rychlosti vlnění v jednotlivých prostředích.

Snellův zákon platí nejen pro rovinné vlnění, ale v obecném případě pro libovolné vlnění dopadající na rozhraní libovolného tvaru.

Důsledky

Ze Snellova zákona plyne, vyjádřeno slovy, že:

Při šíření záření z prostředí opticky řidšího do opticky hustšího prostředí se paprsky lámou směrem ke kolmici (tzv. lom ke kolmici).
Při šíření záření z prostředí opticky hustšího do opticky řidšího prostředí se paprsky lámou směrem od kolmice (tzv. lom od kolmice).

Opticky hustším resp. řidším prostředím je míněno prostředí s vyšším resp. nižším indexem lomu.

Pokud fázová rychlost závisí na frekvenci vlnění (viz disperze (vlnění)), pak pro složené vlnění dochází při lomu k závislosti úhlu lomu na frekvenci. To se projevuje např. v optice rozkladem světla na jednotlivé barevné složky (v přírodě se tento jev projevuje např. vznikem duhy).

Totální odraz

Šíří-li se paprsky z opticky hustšího prostředí (tedy v případě lomu od kolmice) může nastat, že úhel lomu je roven pravému úhlu, tzn. $\alpha _{2}={\frac {\pi }{2}}$ . V takovém případě je $\sin \alpha _{2}=1$ , a zákon lomu má tvar

\sin \alpha _{m}=\sin \alpha _{1}={\frac {v_{1}}{v_{2}}}

,

kde $\alpha _{m}$ označuje tzv. mezní úhel. Mezní úhel je největší úhel dopadu, při kterém ještě nastává lom vlnění. Je-li úhel dopadu větší než mezný úhel, tzn. $\alpha _{1}>\alpha _{m}$ , dochází k tzv. totálnímu (úplnému) odrazu, při kterém se vlnění do prostředí 2 vůbec nedostane a odráží se zpět do prostředí 1.

Hodnotu mezného úhlu lze určit ze vztahu

\alpha _{m}=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)

Související články

Externí odkazy

Animace Snellova zákona
Fuka, Havelka: Optika
Havelka: Geometrická optika I
Snellův zákon: http://ottp.fme.vutbr.cz/skripta/optika/0211.htm
Vlnové vlastnosti světla: http://www.sweb.cz/radek.jandora/f19.htm

@@ Řádek 27: / Řádek 27: @@
 Z [[:soubor:lom_vlnoplocha_rovinna.svg|obrázku]] je vidět, že [[vlnění]], které dopadá z prostředí ''1'' na rozhraní s prostředím ''2'' pod úhlem dopadu <math>\alpha_1</math>, dospěje nejdříve do [[bod]]u <math>A</math> a postupně do dalších bodů až po bod <math>C</math>. Tyto body se podle [[Huygensův princip|Huygensova principu]] stávají zdroji [[elementární vlnění|elementárních vlnění]], které se šíří do prostředí ''2''. Dochází k lomu vlnění. Vlnění, které se v prostředí ''1'' šířilo [[fázová rychlost|fázovou rychlostí]] <math>v_1</math>, se bude v prostředí ''2'' šířit fázovou rychlostí <math>v_2</math>, která je obecně různá od rychlosti <math>v_1</math> a závisí na vlastnostech prostředí, v němž se vlnění šíří. Čelo dopadající rovinné vlny (tedy [[vlnoplocha]]) je představováno [[úsečka|úsečkou]] <math>AB</math>, čelo lomené vlny je představováno úsečkou <math>CD</math>. Pro poměr [[sinus|sinů]] úhlu dopadu <math>\alpha_1</math> a lomu <math>\alpha_2</math> platí podle [[:soubor:lom_vlnoplocha_rovinna.svg|obrázku]] vztah
 :<math>\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2} = \frac{\frac{|BC|}{|AC|}}{\frac{|AD|}{|AC|}} = \frac{|BC|}{|AD|} = \frac{v_1t}{v_2t} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{n_2}{n_1} = n_{21}</math>,
-kde <math>d|...|</math> označuje délku [[úsečka|úsečky]], <math>v_1</math> a <math>v_2</math> jsou fázové rychlosti vlnění v prostředí ''1'' a ''2'', <math>v_1t</math> je vzdálenost, kterou vlnění urazí v prostředí ''1'' za [[čas]] <math>t</math> a <math>v_2t</math> je [[vzdálenost]], kterou vlnění urazí za čas <math>t</math> v prostředí ''2'', <math>n_1</math> a <math>n_2</math> jsou [[absolutní index lomu|absolutní indexy lomu]] v prostředí ''1'' a ''2'' a <math>n_{21}</math> je [[relativní index lomu]].
+kde <math>|...|</math> označuje délku [[úsečka|úsečky]], <math>v_1</math> a <math>v_2</math> jsou fázové rychlosti vlnění v prostředí ''1'' a ''2'', <math>v_1t</math> je vzdálenost, kterou vlnění urazí v prostředí ''1'' za [[čas]] <math>t</math> a <math>v_2t</math> je [[vzdálenost]], kterou vlnění urazí za čas <math>t</math> v prostředí ''2'', <math>n_1</math> a <math>n_2</math> jsou [[absolutní index lomu|absolutní indexy lomu]] v prostředí ''1'' a ''2'' a <math>n_{21}</math> je [[relativní index lomu]].