Ultrafiltr: Porovnání verzí

Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Přidáno 12 bajtů ,  před 1 rokem
m
Oprava pomlček a slovosledu
m ({{Autoritní data}}; kosmetické úpravy)
m (Oprava pomlček a slovosledu)
 
# <math> A,B \isin F \implies A \cap B \isin F \,\! </math>
# <math> (A \isin F \land A \subseteq B) \implies B \isin F \,\! </math>
# <math> ( \forall A \isin \mathbb{P}(X)) (A \isin F \vee X - A \isin F) \,\! </math>
 
== Vysvětlení definice ==
Podle bodu 2 je '''ultrafiltr''' [[dolů usměrněná množina]], podle bodu 3 je to [[horní množina]] - jedná se tedy o [[Filtr (matematika)|filtr]] v [[Potenční algebra|potenční algebře]].<br />
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o [[vlastní filtr]] - '''ultrafiltr''' tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina <math> \mathbb{P}(X) \,\! </math><br />
 
Podle bodu 4 je v '''ultrafiltru''' obsažena podmnožina <math> A \subseteq X \,\! </math> nebo její doplněk <math> (X - A) \subseteq X \,\! </math>. Pokud by pro některou množinu <math> A \subseteq X \,\! </math> obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i <math> A \cap (X - A) = \emptyset \,\! </math> , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.<br />
Tato vlastnost tedy zaručuje, že '''ultrafiltr''' je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu [[Maximální a minimální prvek|maximální]] - jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.
 
Zjednodušeně řečeno, „seká“ ultrafiltr „seká“ celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina - její doplněk vybírá přesněprávě jednu možnost.
 
== Příklady a vlastnosti ==
Za [[hlavní filtr]] považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny <math> A \subseteq X \,\! </math>, hlavní filtr určený množinou <math> A \,\! </math> tedy lze zapsat jako<br />
<math> F(A) = \{ B \subseteq X : A \subseteq B \} \,\! </math><br />
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry - jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou <math> A = \{a \} \,\! </math>, kde <math> a \isin X \,\! </math>. Tyto ultrafiltry jsou nazývány '''triviální ultrafiltry'''.
 
Na [[konečná množina|konečné množině]] je každý ultrafiltr triviální - celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny <math> X \,\! </math>.<br />
Na [[Nekonečná množina|nekonečné množině]] odpovídá počet triviálních ultrafiltrů [[mohutnost]]i množiny <math> X \,\! </math>.
 
Vezmeme-li v úvahu například [[Fréchetův filtr]] a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.
 
Důkaz této věty podstatným způsobem používá [[princip maximality]] - větu nelze dokázat, bez přijetí [[Axiom výběru|axiomu výběru]] nebo nějaké jeho obdoby.
 
=== Dualita s prvoideálem ===
Stejně jako u většiny pojmů z [[teorie uspořádání]], má i ultrafiltr svůj duální pojem - [[prvoideál (teorie uspořádání)|prvoideál]]. Ke každému ultrafiltru <math> F \,\! </math> existuje '''duální prvoideál''' - množina všech doplňků z <math> F \,\! </math>: <br />
<math> F^* = \{ X - A : A \isin F \} \,\! </math>
 
Vztah platí i opačně - množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr - '''duální ultrafiltr'''. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí<br />
<math> (F^*)^* = F \,\! </math>
 

Navigační menu