Algebraicky uzavřené těleso: Porovnání verzí

← Přejít na předchozí porovnání Přejít na další porovnání →

Smazaný obsah Přidaný obsah

V textu

Verze z 11. 8. 2021, 13:53

Matematický pojem algebraicky uzavřené těleso označuje takové těleso $T$ , pro které platí, že každý mnohočlen stupně alespoň 1 s koeficienty z tělesa $T$ má v $T$ alespoň jeden kořen.

Příklady

Těleso reálných čísel není algebraicky uzavřené, neboť například mnohočlen $x^{2}+1=0$ nemá v reálných číslech žádné řešení, ačkoliv je stupně 2 a všechny jeho koeficienty (totiž 1 a 1) jsou reálná čísla. Jednička je obsažena i v každém podtělese reálných čísel, proto pro podtělesa reálných čísel můžeme použít stejný argument a vidíme, že ani ona nejsou algebraicky uzavřená. Tedy speciálně těleso racionálních čísel není algebraicky uzavřené.

Algebraicky uzavřené není ani žádné konečné těleso. Označíme-li totiž prvky konečného tělesa po řadě $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}$ , můžeme zkonstruovat mnohočlen $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{k})+1$ , který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z $a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}$ není jeho kořenem.

Naproti tomu těleso komplexních čísel algebraicky uzavřené je, jak říká základní věta algebry.

Odkazy

Externí odkazy

Algebraicky uzavřené těleso v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Pahýl

Tento článek je příliš stručný nebo postrádá důležité informace.
Pomozte Wikipedii tím, že jej vhodně rozšíříte. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.

@@ Řádek 2: / Řádek 2: @@
 == Příklady ==
-Těleso [[reálné číslo|reálných čísel]] není algebraicky uzavřené, neboť například mnohočlen <math>x^2+1=0</math> nemá v reálných číslech žádné řešení, ačkoliv je stupně 2 a všechny jeho koeficienty (totiž 1 a 1) jsou reálná čísla. Jednička je obsažena i v každém [[podtěleso|podtělese]] reálných čísel, proto pro podtělesa reálných čísel můžeme použít stejný argument a vidíme, že ani ony nejsou algebraicky uzavřené. Tedy speciálně těleso [[racionální číslo|racionálních čísel]] není algebraicky uzavřené.
+Těleso [[reálné číslo|reálných čísel]] není algebraicky uzavřené, neboť například mnohočlen <math>x^2+1=0</math> nemá v reálných číslech žádné řešení, ačkoliv je stupně 2 a všechny jeho koeficienty (totiž 1 a 1) jsou reálná čísla. Jednička je obsažena i v každém [[podtěleso|podtělese]] reálných čísel, proto pro podtělesa reálných čísel můžeme použít stejný argument a vidíme, že ani ona nejsou algebraicky uzavřená. Tedy speciálně těleso [[racionální číslo|racionálních čísel]] není algebraicky uzavřené.
 Algebraicky uzavřené není ani žádné [[konečné těleso]]. Označíme-li totiž prvky konečného tělesa po řadě <math>a_1,a_2,\dots,a_k</math>, můžeme zkonstruovat mnohočlen <math>(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_k) + 1</math>, který je zřejmě stupně alespoň 1 a přitom žádný z <math>a_1,a_2,\dots,a_k</math> není jeho kořenem.