Vandermondova matice

Vandermondova matice, pojmenovaná po Alexandru-Théophilovi Vandermondovi, je matematický termín označující matici, která v každém řádku obsahuje po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti počínaje jedničkou, tedy matici

$V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\\\end{bmatrix}}$

neboli matici, kde lze prvek na pozici i,j vyjádřit předpisem

$V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}$

V případě čtvercové Vandermondovy matice je možné počítat její determinant, ten je roven

$\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i}).$

Tento determinant bývá označován Vandermondův determinant.

Čtvercová Vandermondova matice je regulární, právě když hodnoty $\alpha _{1}...\alpha _{m}$ jsou různé.

Využití Vandermondovy matice

Vandermondova matice se používá např. v případech, kdy známe množinu bodů (tj. kořeny $x_{1}...x_{n+1}$ a hodnoty $y_{1}...y_{n+1}$) a potřebujeme zjistit polynom, který jimi prochází (tj. koeficienty $\alpha _{0}...\alpha _{n}$). Řešíme následující soustavu:

${\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\1&x_{3}&x_{3}^{2}&\dots &x_{3}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n+1}&x_{n+1}^{2}&\dots &x_{n+1}^{n}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\alpha _{0}\\\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{n}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\\vdots \\y_{n+1}\\\end{bmatrix}}$

Diskrétní Fourierova transformace

Diskrétní Fourierova transformace (a její inverze) se dají zapsat jako násobení vstupního vektoru délky $n$ konkrétní Vandermondovou maticí z $\mathbb {C} ^{n\times n}$. Hodnoty $\alpha _{i}$ v definici V. matice jsou komplexní odmocniny z 1. Při značení z předchozího příkladu počítá DFT hodnoty $y_{i}$ jako hodnoty polynomu s (komplexními) koeficienty $\alpha _{0}\dots \alpha _{n-1}$ v bodech $x_{i}$, kde $x_{i}=\omega _{n}^{i-1},i=1\dots n$ pro zvolenou $\omega _{n}$, tj. $n$-tou primitivní odmocninu z 1.