Cauchyova–Goursatova věta: Porovnání verzí

Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Přidáno 17 bajtů ,  před 1 rokem
m
robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy
m (+Kategorie:Augustin Louis Cauchy)
m (robot: přidáno {{Autoritní data}}; kosmetické úpravy)
 
 
Nejjednodušší důkaz se zakládá na tom, že se integrál rozepíše na reálnou a imaginární část, pomocí [[Greenova věta|Greenovy věty]] převede na integrál přes vnitřek křivky ''C'' a na základě [[Cauchyho–Riemannovy podmínky|Cauchyho–Riemannových podmínek]] se ukáže, že integrand se rovná konstantně nule. Jestliže tedy <math> \displaystyle f=u+iv </math>
a <math> \displaystyle dz=dx+i\,dy </math>, pak
 
:<math>\oint_C f(z)\,dz = \oint_C (u+iv)(dx+i\,dy) = \oint_C (u\,dx-v\,dy) +i\oint_C (v\,dx+u\,dy).</math>
 
Oba integrály lze upravit pomocí Greenovy věty:
Opačné tvrzení, tedy že z nulovosti integrálů po uzavřených křivkách vyplývá holomorfnost funkce, se nazývá [[Morerova věta]].
 
Větu lze dále zobecnit pro případ, že uvnitř křivky ''C'' se nacházejí oblasti, na kterých funkce ''f'' není holomorfní nebo není definovaná, ale tyto oblasti jsme schopni omezit po částech hladkými Jordanovými křivkami. '''Obecná''' '''Cauchyova–Goursatova věta''' zní:
 
Nechť ''C'' a ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub> jsou po částech hladké a souhlasně orientované Jordanovy křivky, nechť ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub> leží uvnitř C a vnitřky křivek ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub> jsou navzájem disjunktní. Nechť ''f'' je holomorfní na křivce ''C'' a na jejím vnitřku s případnou výjimkou vnitřků křivek ''C''<sub>1</sub>, ..., ''C''<sub>n</sub>. Pak platí
 
:<math>\oint_{C} f(z) \mathop{\mathrm dz} = \sum_{i = 1}^{n} \oint_{C_i} f(z)\mathop{\mathrm dz}.</math>
{{Autoritní data}}
 
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
1 640 414

editací

Navigační menu